Grundläggande statistisk bakgrund

Kapitel 2: Grundläggande statistisk bakgrund


Index

Kapitel 2

Grundläggande statistisk bakgrund

Tillgänglig programvara:
Weibull ++

Fler resurser:
Weibull ++ Exempelsamling

Ladda ner referensbok:
Livsdataanalys (* .pdf)

Generera referensbok:
Filen kan vara mer uppdaterad

Detta avsnitt ger en kort grundläggande introduktion till de vanligaste och grundläggande statistiska ekvationerna och definitionerna som används i tillförlitlighetsteknik och livsdata-analys.

Slumpmässiga variabler

I allmänhet handlar de flesta problem inom tillförlitlighetsteknik om kvantitativa mått, till exempel en komponents tid-till-fel, eller kvalitativa mått, till exempel om en komponent är defekt eller icke-defekt. Vi kan sedan använda en slumpmässig variabel X \, \! för att beteckna dessa möjliga åtgärder.

Att bedöma en komponent som defekt eller icke-defekt är endast två resultat möjliga. Det vill säga X \, \! är en slumpmässig variabel som kan ta på sig ett av endast två värden (låt oss säga defekt = 0 och icke-defekt = 1). I detta fall sägs variabeln vara en diskret slumpmässig variabel.

Sannolikhetsdensitetsfunktionen och den kumulativa fördelningsfunktionen

Sannolikhetsdensitetsfunktionen (pdf) och kumulativ fördelningsfunktion (cdf) är två av de viktigaste statistiska funktionerna i tillförlitlighet och är mycket nära relaterade. är kända kan nästan alla andra tillförlitlighetsmått av intresse härledas eller erhållas. Vi kommer nu att titta närmare på dessa funktioner och hur de relaterar till andra tillförlitlighetsmått, såsom tillförlitlighetsfunktionen och felfrekvensen.

Från sannolikhet och statistik, med en kontinuerlig slumpmässig variabel X, \, \! Betecknar vi:

  • Sannolikhetsdensitetsfunktionen, pdf, som f (x) \, \ !.
  • Den kumulativa fördelningsfunktionen, cdf, som F (x) \, \ !.

PDF och cdf ger en fullständig beskrivning av sannolikhetsfördelningen för en slumpmässig variabel. Följande figur illustrerar en pdf.

Nästa figurer illustrerar förhållandet pdf – cdf.

P (a \ le X \ le b) = \ int_ {a} ^ {b} f (x) dx \ \, \!

Cdf är en funktion, F (x) \, \ !, av en slumpmässig variabel X \, \ !, och definieras för ett tal x \, \! av:

F (x) = P (X \ le x) = \ int_ {0} ^ {x} f (s) ds \ \, \!

Matematisk relation: pdf och cdf

Det matematiska förhållandet mellan pdf och cdf ges av:

F (x) = \ int_ {0} ^ {x} f (s) ds \, \!

där s \, \! är en dummyintegrationsvariabel.

Omvänt:

f (x) = \ frac {d (F (x))} {dx} \, \!

Cdf är området under sannolikhetsdensitetsfunktionen upp till värdet x \, \ !. Den totala ytan under pdf-filen är alltid lika med 1 eller matematiskt:

\ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} f (x) dx = 1 \, \!

Den välkända normalfördelningen (eller Gauss) är ett exempel på en sannolikhetsdensitetsfunktion. PDF för denna distribution ges av:

f (t) = \ frac {1} {\ sigma \ sqrt {2 \ pi}} {{e} ^ {- \ tfrac {1} {2} { {\ left (\ tfrac {t- \ mu} {\ sigma} \ right)} ^ {2}}}}, \!

En annan är den lognormala distributionen, vars pdf ges av:

f (t) = \ frac {1} {t \ cdot {{\ sigma} ^ {\ prime}} \ sqrt {2 \ pi }} {{e} ^ {- \ tfrac {1} {2} {{\ left (\ tfrac {{{t} ^ {\ prime}} – {{\ mu} ^ {\ prime}}} {{ {\ sigma} ^ {\ prime}}} höger)} ^ {2}}}} \, \!

Tillförlitlighetsfunktion

F (t) = \ int_ {0} ^ {t} f (s) ds \ \, \!

Eller man skulle kunna jämföra denna händelse med sannolikheten för att en enhet misslyckas med tiden t \, \ !.

Eftersom den här funktionen definierar sannolikheten för misslyckande vid en viss tid, kan vi betrakta detta som opålitlighet funktion. Att subtrahera denna sannolikhet från 1 kommer att ge oss tillförlitlighetsfunktionen, en av de viktigaste funktionerna i livsdataanalys. Tillförlitlighetsfunktionen ger sannolikheten för framgång för en enhet som utför ett uppdrag med en given tidsperiod. Följande bild illustrerar detta.

Q (t) = F (t) = \ int_ {0} ^ {t} f (s) ds \, \!

Tillförlitlighet och opålitlighet är de enda två händelserna som övervägs och de utesluter varandra. därför är summan av dessa sannolikheter lika med enhet.

Sedan:

\ begin {align} Q (t) + R (t) = & 1 \\ R (t) = & 1-Q (t) \\ R (t) = & 1- \ int_ {0} ^ {t} f (s) ds \\ R (t) = & \ int_ {t} ^ {\ infty} f (s) ds \ end {align} \, \!

Omvänt:

f (t) = – \ frac {d (R (t))} {dt} \, \!

Funktion för villkorlig pålitlighet

Villkorlig tillförlitlighet är sannolikheten att lyckas med ett annat uppdrag efter att ett tidigare uppdrag lyckats. Tidpunkten för det tidigare uppdraget och tiden för uppdraget måste tas med i beräkningen av villkorlig tillförlitlighet. Funktionen för villkorlig tillförlitlighet ges av:

R (t | T) = \ frac {R (T + t)} {R (T)} \ \, \!

Felfunktionsfunktion

Felfrekvensfunktionen möjliggör bestämning av antalet fel som inträffar per tidsenhet. Utelämnande av härledningen ges felfrekvensen matematiskt som:

\ lambda (t) = \ frac {f (t)} {R (t)} \ \, \!

Detta ger den momentana felfrekvensen, även känd som riskfunktionen. Det är användbart för att karakterisera felfunktion hos en komponent, bestämma tilldelning av underhållspersonal, planering av reservdelar etc. Felfrekvens betecknas som fel per tidsenhet.

Medellivslängd (MTTF)

Den genomsnittliga livslängdsfunktionen, som ger ett mått på den genomsnittliga driftstiden till fel, ges av:

\ overline {T} = m = \ int_ {0} ^ {\ infty} t \ cdot f (t) dt \, \!

Detta är den förväntade eller genomsnittliga tiden till fel och betecknas som MTTF (Mean Time To Failure).

MTTF, även om det är ett index för tillförlitlighetsprestanda, ger ingen information om felfördelningen för den aktuella komponenten vid hantering av de flesta livstidsfördelningar. Eftersom väldigt olika distributioner kan ha identiska medel är det inte klokt att använda MTTF som det enda måttet på en komponents tillförlitlighet.

Median Life

\ int _ {- \ infty} ^ {{ \ breve {T}}} f (t) dt = 0,5 \ \, \!

Modal livslängd (eller läge)

Modalt livslängd (eller läge), \ tilde {T} \, \ !, är värdet T \, \! som uppfyller:

\ frac {d \ left} {dt} = 0 \ \, \!

För en kontinuerlig distribution är läget det värdet t \, \! som motsvarar den maximala sannolikhetstätheten (det värde som pdf har sitt maximala värde eller kurvans topp).

Livstidsfördelningar

En statistisk fördelning beskrivs fullständigt av dess pdf. I de föregående avsnitten använde vi definitionen av pdf för att visa hur alla andra funktioner som oftast används inom tillförlitlighetsteknik och livsdata-analys kan härledas. Tillförlitlighetsfunktionen, felfrekvensfunktionen, medeltidsfunktionen och medianlivsfunktionen kan bestämmas direkt från pdf-definitionen, eller f (t) \, \ !. Olika distributioner existerar, såsom normal (Gaussian), exponential, Weibull, etc., och var och en har en fördefinierad form av f (t) \, \! som finns i många referenser. Faktum är att det finns vissa referenser som uteslutande ägnas åt olika typer av statistiska distributioner. Dessa fördelningar formulerades av statistiker, matematiker och ingenjörer för att matematiskt modellera eller representera visst beteende. Till exempel formulerades Weibull-distributionen av Waloddi Weibull och därmed bär den hans namn. Vissa distributioner tenderar att bättre representera livsdata och kallas oftast för ”livsdistributioner”.

En mer detaljerad introduktion till detta ämne presenteras i Life Distributions.

Lämna ett svar

Din e-postadress kommer inte publiceras. Obligatoriska fält är märkta *