Context statistic de bază

Capitolul 2: Context statistic de bază


Index

Capitolul 2

Context statistic de bază

Software disponibil:
Weibull ++

Mai multe resurse:
Colecția de exemple Weibull ++

Descărcați cartea de referință:
Analiza datelor despre viață (* .pdf)

Generare carte de referință:
Fișierul poate fi mai actualizat

Această secțiune oferă o scurtă introducere elementară la cele mai comune și fundamentale ecuații statistice și definiții utilizate în ingineria fiabilității și analiza datelor de viață.

Variabile aleatorii

În general, majoritatea problemelor din ingineria fiabilității se referă la măsuri cantitative, cum ar fi timpul până la eșecul unei componente sau măsuri calitative, cum ar fi dacă o componentă este defect sau nedefect. Putem folosi apoi o variabilă aleatorie X \, \! pentru a indica aceste posibile măsuri.

În cazul în care o componentă este considerată defectă sau nedefectă, sunt posibile doar două rezultate. Adică X \, \! este o variabilă aleatorie care poate lua una dintre cele două valori (să spunem defect = 0 și non-defect = 1). În acest caz, se spune că variabila este o variabilă discretă aleatoare.

Funcția densității probabilității și funcția de distribuție cumulativă

Funcția densității probabilității (pdf) și funcția de distribuție cumulativă (cdf) sunt două dintre cele mai importante funcții statistice în fiabilitate și sunt foarte strâns legate. sunt cunoscute, aproape orice altă măsură de fiabilitate de interes poate fi derivată sau obținută. Vom analiza acum mai atent aceste funcții și cum se raportează la alte măsuri de fiabilitate, cum ar fi funcția de fiabilitate și rata de eșec. > Din probabilitate și statistici, având în vedere o variabilă continuă aleatoare X, \, \! Denotăm:

  • Funcția densității probabilității, pdf, ca f (x) \, \ !.
  • Funcția de distribuție cumulativă, cdf, ca F (x) \, \ !.

PDF și cdf oferă o descriere completă a distribuția probabilității unei variabile aleatorii. Următoarea figură ilustrează un pdf.

Următoarele figuri ilustrează relația pdf – cdf.

P (a \ le X \ le b) = \ int_ {a} ^ {b} f (x) dx \ \, \!

Cdf este o funcție, F (x) \, \ !, a unei variabile aleatoare X \, \ !, și este definită pentru un număr x \, \! de:

F (x) = P (X \ le x) = \ int_ {0} ^ {x} f (s) ds \ \, \!

Relația matematică: pdf și cdf

Relația matematică dintre pdf și cdf este dată de:

F (x) = \ int_ {0} ^ {x} f (s) ds \, \!

unde s \, \! este o variabilă de integrare falsă.

În schimb:

f (x) = \ frac {d (F (x))} {dx} \, \!

Cdf este zona sub funcția densității probabilității până la o valoare de x \, \ !. Suprafața totală sub pdf este întotdeauna egală cu 1 sau matematic:

\ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} f (x) dx = 1 \, \!

Distribuția normală (sau gaussiană) este un exemplu de funcție de densitate a probabilității. PDF-ul pentru această distribuție este dat de:

f (t) = \ frac {1} {\ sigma \ sqrt {2 \ pi}} {{e} ^ {- \ tfrac {1} {2} { {\ left (\ tfrac {t- \ mu} {\ sigma} \ right)} ^ {2}}}} \, \!

Altă este distribuția lognormal, al cărei pdf este dat de:

f (t) = \ frac {1} {t \ cdot {{\ sigma} ^ {\ prime}} \ sqrt {2 \ pi }} {{e} ^ {- \ tfrac {1} {2} {{\ left (\ tfrac {{{t} ^ {\ prime}} – {{\ mu} ^ {\ prime}}} {{ {\ sigma} ^ {\ prime}}} \ right)} ^ {2}}}} \, \!

Funcția de fiabilitate

F (t) = \ int_ {0} ^ {t} f (s) ds \ \, \!

Sau, s-ar putea echivala acest eveniment cu probabilitatea unei eșecuri a unei unități de timp t \, \ !.

Deoarece această funcție definește probabilitatea de eșec cu un anumit timp, am putea considera acest lucru funcție de nesiguranță. Scăderea acestei probabilități de la 1 ne va oferi funcția de fiabilitate, una dintre cele mai importante funcții în analiza datelor de viață. Funcția de fiabilitate oferă probabilitatea de succes a unei unități care își asumă o misiune cu o durată de timp dată. Figura următoare ilustrează acest lucru.

Q (t) = F (t) = \ int_ {0} ^ {t} f (s) ds \, \!

Fiabilitatea și necredibilitatea sunt singurele două evenimente luate în considerare și se exclud reciproc; prin urmare, suma acestor probabilități este egală cu unitatea.

Apoi:

\ begin {align} Q (t) + R (t) = & 1 \\ R (t) = & 1-Q (t) \\ R (t) = & 1- \ int_ {0} ^ {t} f (s) ds \\ R (t) = & \ int_ {t} ^ {\ infty} f (s) ds \ end {align} \, \!

În schimb:

f (t) = – \ frac {d (R (t))} {dt} \, \!

Funcția de fiabilitate condiționată

Fiabilitatea condiționată este probabilitatea de a finaliza cu succes o altă misiune după finalizarea cu succes a unei misiuni anterioare. Pentru calcularea condițională a fiabilității trebuie luate în considerare timpul misiunii anterioare și timpul pentru misiunea care trebuie întreprinsă. Funcția de fiabilitate condiționată este dată de:

R (t | T) = \ frac {R (T + t)} {R (T)} \ \, \!

Funcția ratei de eșec

Funcția rata de eșec permite determinarea numărului de eșecuri care apar pe unitatea de timp. Omiind derivarea, rata de eșec este dată matematic ca:

\ lambda (t) = \ frac {f (t)} {R (t)} \ \, \!

Aceasta oferă rata de eșec instantaneu, cunoscută și sub numele de funcția de pericol. Este util în caracterizarea comportamentului de eșec al unei componente, determinarea alocării echipajului de întreținere, planificarea aprovizionării pieselor de schimb etc. Rata de eșec este indicată ca eșec pe unitate de timp.

Durata medie de viață (MTTF)

Funcția medie de viață, care oferă o măsură a timpului mediu de funcționare până la eșec, este dată de:

\ overline {T} = m = \ int_ {0} ^ {\ infty} t \ cdot f (t) dt \, \!

Acesta este timpul așteptat sau mediu până la eșec și este notat ca MTTF (Timpul mediu până la eșec).

MTTF, chiar dacă este un indice de performanță de fiabilitate, nu oferă nicio informație cu privire la distribuția defectuoasă a componentei în cauză atunci când se ocupă de majoritatea distribuțiilor pe durata de viață. Deoarece distribuțiile foarte diferite pot avea mijloace identice, nu este înțelept să folosiți MTTF ca singură măsură a fiabilității unei componente.

Viața mediană

\ int _ {- \ infty} ^ {{ \ breve {T}}} f (t) dt = 0,5 \ \, \!

Viața modală (sau modul)

Viața modală (sau modul), \ tilde {T} \, \ !, este valoarea lui T \, \! care satisface:

\ frac {d \ left} {dt} = 0 \ \, \!

Pentru o distribuție continuă, modul este acea valoare de t \, \! care corespunde densității maxime de probabilitate (valoarea la care pdf are valoarea maximă sau vârful curbei).

Distribuții pe toată durata de viață

O distribuție statistică este complet descrisă de pdf-ul său. În secțiunile anterioare, am folosit definiția fișierului pdf pentru a arăta cum pot fi derivate toate celelalte funcții cele mai frecvent utilizate în ingineria fiabilității și analiza datelor de viață. Funcția de fiabilitate, funcția ratei de eșec, funcția de timp mediu și funcția de viață mediană pot fi determinate direct din definiția pdf sau f (t) \, \ !. Există diferite distribuții, cum ar fi cea normală (gaussiană), exponențială, Weibull etc. și fiecare are o formă predefinită de f (t) \, \! care poate fi găsit în multe referințe. De fapt, există anumite referințe care sunt dedicate exclusiv diferitelor tipuri de distribuții statistice. Aceste distribuții au fost formulate de statistici, matematicieni și ingineri pentru a modela sau reprezenta matematic un anumit comportament. De exemplu, distribuția Weibull a fost formulată de Waloddi Weibull și astfel îi poartă numele. Unele distribuții tind să reprezinte mai bine datele de viață și sunt cel mai frecvent numite „distribuții pe toată durata de viață”.

O introducere mai detaliată a acestui subiect este prezentată în Distribuțiile de viață.

Lasă un răspuns

Adresa ta de email nu va fi publicată. Câmpurile obligatorii sunt marcate cu *