6.3: Volumele Revoluției: Metoda Shell

Adesea, o anumită problemă poate fi rezolvată în mai multe moduri. O anumită metodă poate fi aleasă din comoditate, preferință personală sau poate necesitate. În cele din urmă, este bine să aveți opțiuni.

Secțiunea anterioară a introdus metodele pentru disc și șaibă, care au calculat volumul solidelor de revoluție prin integrarea secțiunii transversale a solidului. Această secțiune dezvoltă o altă metodă de calcul a volumului, Metoda Shell. În loc să tăiem solidul perpendicular pe axa de rotație, creând secțiuni transversale, o feliem acum paralel cu axa de rotație, creând „cochilii”.

Luați în considerare figura \ (\ PageIndex {1} \) , unde regiunea indicată în (a) este rotită în jurul axei \ (y \) – formând solidul prezentat în (b). O mică felie a regiunii este trasată în (a), paralel cu axa de rotație. Când regiunea este rotită, această felie subțire formează o coajă cilindrică, așa cum se arată în partea (c) din figură. Secțiunea anterioară a aproximat un solid cu o mulțime de discuri subțiri (sau șaibe); acum aproximăm un solid cu multe cochilii cilindrice subțiri.

Figura \ (\ PageIndex {1} \): Introducerea metodei Shell.

Figura \ (\ PageIndex { 1} \) (d): O versiune dinamică a acestei figuri creată folosind CalcPlot3D.

Prin divizarea solidului în \ (n \) cochilii cilindrice, putem aproxima volumul solidului ca

$$ V = \ sum_ {i = 1} ^ n 2 \ pi r_ih_i \ dx_i, $$

unde \ (r_i \), \ (h_i \) și \ (dx_i \) sunt raza, înălțimea și grosimea coajei \ (i \, ^ \ text {th} \), respectiv.

Aceasta este o sumă Riemann. A lua o limită pe măsură ce grosimea cochiliilor se apropie de 0 duce la o integrală definită.

Figura \ (\ PageIndex {2 } \): Determinarea volumului unei cochilii cilindrice subțiri.} \ Label {fig: soupcan}

Cazuri speciale:

  1. Când regiunea \ (R \) este delimitat mai sus de \ (y = f (x) \) și mai jos de \ (y = g (x) \), apoi \ (h (x) = f (x) -g (x) \).
  2. Când axa de rotație este axa \ (y \) – (adică \ (x = 0 \)) atunci \ (r (x) = x \).

Să practicăm folosind Metoda Shell.

Cu Metoda Shell, nu trebuie luat în considerare nimic special pentru a calcula volumul unui solid care are o gaură în mijloc, așa cum se demonstrează în continuare.

Când rotim o regiune în jurul unei axe orizontale, trebuie să luăm în considerare funcțiile de rază și înălțime în termeni de \ (y \), nu \ (x \).

La începutul în această secțiune s-a afirmat că „este bine să aveți opțiuni.” Următorul exemplu găsește volumul unui solid destul de ușor cu metoda Shell, dar folosind metoda de spălare ar fi o treabă destul de mare.

Încheiem această secțiune cu un tabel care rezumă utilizarea metodelor Washer și Shell.

La fel ca în secțiunea anterioară, scopul real al acestei secțiuni nu este capabil să calculeze volume ale anumitor solide. Mai degrabă, este să puteți rezolva o problemă mai întâi aproximând, apoi folosind limite pentru a rafina aproximarea pentru a da valoarea exactă. În această secțiune, aproximăm volumul unui solid prin tăierea acestuia în cochilii cilindrice subțiri. Rezumând volumele fiecărei cochilii, obținem o aproximare a volumului. Luând o limită pe măsură ce numărul de cochilii la fel de distanțate merge la infinit, suma noastră poate fi evaluată ca o integrală definită, dând valoarea exactă.

Folosim același principiu din nou în secțiunea următoare, unde vom găsiți lungimea curbelor în plan.

Lasă un răspuns

Adresa ta de email nu va fi publicată. Câmpurile obligatorii sunt marcate cu *