Fundamentos estatísticos básicos

Capítulo 2: Fundamentos estatísticos básicos

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Capítulo 2

Antecedentes estatísticos básicos

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Esta seção fornece uma breve introdução elementar às equações estatísticas mais comuns e fundamentais e definições usadas em engenharia de confiabilidade e análise de dados de vida.

Variáveis aleatórias

Em geral, a maioria dos problemas na engenharia de confiabilidade lidam com medidas quantitativas, como o tempo até a falha de um componente, ou medidas qualitativas, como se um componente é defeituoso ou não defeituoso. Podemos então usar uma variável aleatória X \, \! para denotar essas medidas possíveis.

Ao julgar um componente como defeituoso ou não defeituoso, apenas dois resultados são possíveis. Ou seja, X \, \! é uma variável aleatória que pode assumir um de apenas dois valores (digamos com defeito = 0 e sem defeito = 1). Nesse caso, a variável é considerada uma variável aleatória discreta.

A função de densidade de probabilidade e a função de distribuição cumulativa

A função de densidade de probabilidade (pdf) e a função de distribuição cumulativa (cdf) são duas das funções estatísticas mais importantes em confiabilidade e estão intimamente relacionadas. são conhecidas, quase todas as outras medidas de confiabilidade de interesse podem ser derivadas ou obtidas. Agora, examinaremos mais de perto essas funções e como elas se relacionam com outras medidas de confiabilidade, como a função de confiabilidade e a taxa de falha.

De probabilidade e estatística, dada uma variável aleatória contínua X, \, \! Denotamos:

  • A função de densidade de probabilidade, pdf, como f (x) \, \ !.
  • A função de distribuição cumulativa, cdf, como F (x) \, \ !.

O pdf e cdf fornecem uma descrição completa de a distribuição de probabilidade de uma variável aleatória. A figura a seguir ilustra um pdf.

As próximas figuras ilustram a relação pdf – cdf.

P (a \ le X \ le b) = \ int_ {a} ^ {b} f (x) dx \ \, \!

O cdf é uma função, F (x) \, \ !, de uma variável aleatória X \, \! e é definido por um número x \, \! por:

F (x) = P (X \ le x) = \ int_ {0} ^ {x} f (s) ds \ \, \!

Relação matemática: pdf e cdf

A relação matemática entre o pdf e o cdf é dada por:

F (x) = \ int_ {0} ^ {x} f (s) ds \, \!

onde está \, \! é uma variável de integração fictícia.

Inversamente:

f (x) = \ frac {d (F (x))} {dx} \, \!

O cdf é a área sob a função de densidade de probabilidade até um valor de x \, \ !. A área total sob o pdf é sempre igual a 1, ou matematicamente:

\ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} f (x) dx = 1 \, \!

A conhecida distribuição normal (ou Gaussiana) é um exemplo de função de densidade de probabilidade. O pdf para esta distribuição é dado por:

f (t) = \ frac {1} {\ sigma \ sqrt {2 \ pi}} {{e} ^ {- \ tfrac {1} {2} { {\ left (\ tfrac {t- \ mu} {\ sigma} \ right)} ^ {2}}}} \, \!

Outra é a distribuição lognormal, cujo pdf é dado por:

f (t) = \ frac {1} {t \ cdot {{\ sigma} ^ {\ prime}} \ sqrt {2 \ pi }} {{e} ^ {- \ tfrac {1} {2} {{\ left (\ tfrac {{{t} ^ {\ prime}} – {{\ mu} ^ {\ prime}}} {{ {\ sigma} ^ {\ prime}}} \ right)} ^ {2}}}} \, \!

Função de confiabilidade

F (t) = \ int_ {0} ^ {t} f (s) ds \ \, \!

Ou, pode-se igualar este evento à probabilidade de uma unidade falhar no tempo t \, \ !.

Uma vez que esta função define a probabilidade de falha em um certo tempo, podemos considerar isso o função de insegurança. Subtrair essa probabilidade de 1 nos dará a função de confiabilidade, uma das funções mais importantes na análise de dados de vida. A função de confiabilidade fornece a probabilidade de sucesso de uma unidade realizando uma missão com um determinado período de tempo. A figura a seguir ilustra isso.

Q (t) = F (t) = \ int_ {0} ^ {t} f (s) ds \, \!

Confiabilidade e insegurança são os únicos dois eventos considerados e são mutuamente exclusivos; portanto, a soma dessas probabilidades é igual à unidade.

Então:

\ begin {align} Q (t) + R (t) = & 1 \\ R (t) = & 1-Q (t) \\ R (t) = & 1- \ int_ {0} ^ {t} f (s) ds \\ R (t) = & \ int_ {t} ^ {\ infty} f (s) ds \ end {align} \, \!

Inversamente:

f (t) = – \ frac {d (R (t))} {dt} \, \!

Função de confiabilidade condicional

A confiabilidade condicional é a probabilidade de completar outra missão com sucesso após a conclusão de uma missão anterior. O tempo da missão anterior e o tempo para a missão a ser realizada devem ser levados em consideração para cálculos de confiabilidade condicional. A função de confiabilidade condicional é dada por:

R (t | T) = \ frac {R (T + t)} {R (T)} \ \, \!

Função de taxa de falha

A função de taxa de falha permite a determinação do número de falhas que ocorrem por unidade de tempo. Omitindo a derivação, a taxa de falha é matematicamente dada como:

\ lambda (t) = \ frac {f (t)} {R (t)} \ \, \!

Isso fornece a taxa de falha instantânea, também conhecida como função de risco. É útil para caracterizar o comportamento de falha de um componente, determinar a alocação da equipe de manutenção, planejar o provisionamento de sobressalentes, etc. A taxa de falha é indicada como falhas por unidade de tempo.

Vida média (MTTF)

A função de vida média, que fornece uma medida do tempo médio de operação até a falha, é dada por:

\ overline {T} = m = \ int_ {0} ^ {\ infty} t \ cdot f (t) dt \, \!

Este é o tempo médio até a falha esperado e é indicado como MTTF (Tempo médio até a falha).

O MTTF, embora seja um índice de desempenho de confiabilidade, não fornece nenhuma informação sobre a distribuição de falha do componente em questão ao lidar com a maioria das distribuições vitalícias. Como distribuições muito diferentes podem ter meios idênticos, não é aconselhável usar o MTTF como a única medida da confiabilidade de um componente.

Vida mediana

\ int _ {- \ infty} ^ {{ \ breve {T}}} f (t) dt = 0,5 \ \, \!

Vida modal (ou modo)

A vida modal (ou modo), \ tilde {T} \, \ !, é o valor de T \, \! isso satisfaz:

\ frac {d \ left} {dt} = 0 \ \, \!

Para uma distribuição contínua, o modo é aquele valor de t \, \! que corresponde à densidade de probabilidade máxima (o valor no qual o pdf tem seu valor máximo ou o pico da curva).

Distribuições vitalícias

Uma distribuição estatística é totalmente descrita por seu pdf. Nas seções anteriores, usamos a definição do pdf para mostrar como todas as outras funções mais comumente usadas em engenharia de confiabilidade e análise de dados de vida podem ser derivadas. A função de confiabilidade, função de taxa de falha, função de tempo médio e função de vida média podem ser determinadas diretamente a partir da definição da pdf, ou f (t) \, \ !. Existem diferentes distribuições, como a normal (Gaussiana), exponencial, Weibull, etc., e cada uma tem uma forma predefinida de f (t) \, \! que pode ser encontrado em muitas referências. Na verdade, existem algumas referências que se dedicam exclusivamente a diferentes tipos de distribuições estatísticas. Essas distribuições foram formuladas por estatísticos, matemáticos e engenheiros para modelar matematicamente ou representar determinado comportamento. Por exemplo, a distribuição Weibull foi formulada por Waloddi Weibull e, portanto, leva seu nome. Algumas distribuições tendem a representar melhor os dados de vida e são mais comumente chamadas de “distribuições de vida”.

Uma introdução mais detalhada a este tópico é apresentada em Distribuições de vida.

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