Podstawowe informacje statystyczne

Ta sekcja zawiera krótkie, elementarne wprowadzenie do najbardziej powszechnych i podstawowych równań statystycznych oraz definicji używanych w inżynierii niezawodności i analizie danych życiowych.

Zmienne losowe

Ogólnie większość problemów w inżynierii niezawodności dotyczy miar ilościowych, takich jak czas do awarii komponentu, lub miar jakościowych, takich jak to, czy komponent jest uszkodzony lub nieuszkodzony. Możemy wtedy użyć losowej zmiennej X \, \! aby wskazać te możliwe środki.

Oceniając element jako wadliwy lub nieuszkodzony, możliwe są tylko dwa wyniki. To znaczy X \, \! jest zmienną losową, która może przyjmować jedną z tylko dwóch wartości (powiedzmy wadliwa = 0 i nieuszkodzona = 1). W tym przypadku mówi się, że zmienna jest dyskretną zmienną losową.

Funkcja gęstości prawdopodobieństwa i skumulowana funkcja dystrybucji

Funkcja gęstości prawdopodobieństwa (pdf) i skumulowana funkcja dystrybucji (cdf) to dwie najważniejsze funkcje statystyczne dotyczące rzetelności i są one bardzo blisko powiązane. są znane, prawie każda inna miara niezawodności może zostać wyprowadzona lub uzyskana. Przyjrzymy się teraz bliżej tym funkcjom i ich powiązaniom z innymi miarami niezawodności, takimi jak funkcja niezawodności i wskaźnik awaryjności.

Z prawdopodobieństwa i statystyki, biorąc pod uwagę ciągłą zmienną losową X, \, \! Oznaczamy:

• Funkcja gęstości prawdopodobieństwa, pdf, jako f (x) \, \ !.

• Skumulowana funkcja dystrybucji, cdf, as F (x) \, \ !.

Pliki PDF i cdf zawierają pełny opis rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej. Poniższy rysunek przedstawia plik PDF.

Następne rysunki ilustrują zależność pdf – cdf.

P (a \ le X \ le b) = \ int_ {a} ^ {b} f (x) dx \ \, \!

Cdf to funkcja F (x) \, \ !, zmiennej losowej X \, \ !, i jest zdefiniowana dla liczby x \, \! autor:

F (x) = P (X \ le x) = \ int_ {0} ^ {x} f (s) ds \ \, \!

Relacja matematyczna: pdf i cdf

Matematyczna zależność między pdf i cdf jest określona wzorem:

F (x) = \ int_ {0} ^ {x} f (s) ds \, \!

gdzie s \, \! jest fikcyjną zmienną całkującą.

Odwrotnie:

f (x) = \ frac {d (F (x))} {dx} \, \!

CDF to obszar pod funkcją gęstości prawdopodobieństwa do wartości x \, \ !. Całkowity obszar pod plikiem PDF jest zawsze równy 1, czyli matematycznie:

\ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} f (x) dx = 1 \, \!

Dobrze znany rozkład normalny (lub rozkład Gaussa) jest przykładem funkcji gęstości prawdopodobieństwa. Plik PDF dla tej dystrybucji jest następujący:

f (t) = \ frac {1} {\ sigma \ sqrt {2 \ pi}} {{e} ^ {- \ tfrac {1} {2} { {\ left (\ tfrac {t- \ mu} {\ sigma} \ right)} ^ {2}}}} \, \!

Inną jest dystrybucja lognormalna, której pdf jest określony przez:

f (t) = \ frac {1} {t \ cdot {{\ sigma} ^ {\ prime}} \ sqrt {2 \ pi }} {{e} ^ {- \ tfrac {1} {2} {{\ left (\ tfrac {{{t} ^ {\ prime}} – {{\ mu} ^ {\ prime}}} {{ {\ sigma} ^ {\ prime}}} \ right)} ^ {2}}}} \, \!

Funkcja niezawodności

F (t) = \ int_ {0} ^ {t} f (s) ds \ \, \!

Lub można zrównać to zdarzenie z prawdopodobieństwem awarii jednostki do czasu t \, \ !.

Ponieważ ta funkcja definiuje prawdopodobieństwo awarii w określonym czasie, możemy uznać to za funkcja zawodności. Odejmując to prawdopodobieństwo od 1, otrzymamy funkcję niezawodności, jedną z najważniejszych funkcji w analizie danych życiowych. Funkcja niezawodności podaje prawdopodobieństwo sukcesu jednostki podejmującej misję w określonym czasie. Ilustruje to poniższy rysunek.

Q (t) = F (t) = \ int_ {0} ^ {t} f (s) ds \, \!

Niezawodność i zawodność to jedyne dwa rozważane zdarzenia i wykluczają się one wzajemnie; stąd suma tych prawdopodobieństw jest równa jedności.

Następnie:

\ begin {align} Q (t) + R (t) = & 1 \\ R (t) = & 1-Q (t) \\ R (t) = & 1- \ int_ {0} ^ {t} f (s) ds \\ R (t) = & \ int_ {t} ^ {\ infty} f (s) ds \ end {align} \, \!

Odwrotnie:

f (t) = – \ frac {d (R (t))} {dt} \, \!

Funkcja warunkowej niezawodności

Warunkowa niezawodność to prawdopodobieństwo pomyślnego ukończenia innej misji po pomyślnym zakończeniu poprzedniej misji. Do warunkowych obliczeń niezawodności należy wziąć pod uwagę czas poprzedniej misji i czas jej podjęcia. Funkcja warunkowej niezawodności jest dana wzorem:

R (t | T) = \ frac {R (T + t)} {R (T)} \ \, \!

Funkcja wskaźnika awaryjności

Funkcja wskaźnika awaryjności umożliwia określenie liczby awarii występujących w jednostce czasu. Pomijając wyprowadzenie, współczynnik niepowodzeń jest matematycznie podany jako:

\ lambda (t) = \ frac {f (t)} {R (t)} \ \, \!

Daje to natychmiastowy wskaźnik awaryjności, znany również jako funkcja hazardu. Jest to przydatne przy charakteryzowaniu zachowań awaryjnych komponentu, określaniu przydziału personelu konserwacyjnego, planowaniu zaopatrzenia w części zamienne itp. Wskaźnik awaryjności jest oznaczany jako awarie na jednostkę czasu.

Średnia żywotność (MTTF)

Funkcja średniej żywotności, która jest miarą średniego czasu działania do awarii, jest określona wzorem:

\ overline {T} = m = \ int_ {0} ^ {\ infty} t \ cdot f (t) dt \, \!

Jest to oczekiwany lub średni czas do awarii, oznaczony jako MTTF (średni czas do awarii).

MTTF, mimo że jest wskaźnikiem wydajności niezawodności, nie dostarcza żadnych informacji o rozkładzie awarii danego komponentu w przypadku większości rozkładów czasu życia. Ponieważ bardzo różne rozkłady mogą mieć identyczne średnie, nierozsądne jest używanie MTTF jako jedynej miary niezawodności komponentu.

Mediana życia

\ int _ {- \ infty} ^ {{ \ breve {T}}} f (t) dt = 0,5 \ \, \!

Życie modalne (lub tryb)

Życie modalne (lub tryb), \ tilde {T} \, \ !, jest wartością T \, \! to spełnia:

\ frac {d \ left} {dt} = 0 \ \, \!

W przypadku dystrybucji ciągłej trybem jest wartość t \, \! co odpowiada maksymalnej gęstości prawdopodobieństwa (wartość, przy której plik PDF ma swoją maksymalną wartość lub szczyt krzywej).

Rozkłady w całym okresie życia

Rozkład statystyczny jest w pełni opisany przez jego plik pdf. W poprzednich rozdziałach użyliśmy definicji pliku PDF, aby pokazać, w jaki sposób można uzyskać wszystkie inne funkcje najczęściej używane w inżynierii niezawodności i analizie danych dotyczących życia. Funkcję niezawodności, funkcję wskaźnika awaryjności, funkcję średniego czasu i medianę funkcji życia można określić bezpośrednio z definicji pdf lub f (t) \, \ !. Istnieją różne rozkłady, takie jak normalny (Gaussa), wykładniczy, Weibulla itp., A każdy z nich ma predefiniowaną postać f (t) \, \! które można znaleźć w wielu źródłach. W rzeczywistości istnieją pewne odniesienia poświęcone wyłącznie różnym typom rozkładów statystycznych. Rozkłady te zostały sformułowane przez statystyków, matematyków i inżynierów w celu matematycznego modelowania lub reprezentowania określonych zachowań. Na przykład rozkład Weibulla został sformułowany przez Waloddiego Weibulla i dlatego nosi jego imię. Niektóre rozkłady lepiej przedstawiają dane dotyczące życia i są najczęściej nazywane „rozkładami czasu życia”.

Bardziej szczegółowe wprowadzenie do tego tematu jest przedstawione w Rozkładach życia.