6.3: Tomy rewolucji: metoda powłoki

Często dany problem można rozwiązać na więcej niż jeden sposób. Konkretną metodę można wybrać ze względu na wygodę, osobiste preferencje lub być może konieczność. Ostatecznie dobrze jest mieć opcje.

W poprzedniej sekcji przedstawiono metody krążka i spryskiwacza, które obliczają objętość brył obrotowych poprzez całkowanie pola przekroju poprzecznego bryły. W tej sekcji rozwijamy inną metodę obliczania objętości, metodę powłoki. Zamiast przecinać bryłę prostopadle do osi obrotu, tworząc przekroje poprzeczne, teraz przecinamy ją równolegle do osi obrotu, tworząc „muszle”.

Rozważ rysunek \ (\ PageIndex {1} \) , gdzie obszar pokazany w (a) jest obracany wokół osi \ (y \) tworzącej bryłę pokazaną na (b). Mały wycinek regionu jest rysowany w (a), równolegle do osi obrotu. Kiedy obszar jest obracany, ten cienki plaster tworzy cylindryczną skorupę, jak pokazano w części (c) rysunku. W poprzedniej sekcji przybliżono bryłę z wieloma cienkimi dyskami (lub podkładkami); teraz przybliżamy bryłę z wieloma cienkimi cylindrycznymi powłokami.

Rysunek \ (\ PageIndex {1} \): Wprowadzenie do metody powłoki.

Rysunek \ (\ PageIndex { 1} \) (d): Dynamiczna wersja tej figury utworzona za pomocą CalcPlot3D.

Rozbijając bryłę na \ (n \) cylindryczne powłoki, możemy przybliżyć objętość bryły jako

$$ V = \ sum_ {i = 1} ^ n 2 \ pi r_ih_i \ dx_i, $$

gdzie \ (r_i \), \ (h_i \) i \ (dx_i \) to odpowiednio promień, wysokość i grubość powłoki \ (i \, ^ \ text {th} \).

To jest suma Riemanna. Przyjęcie granicy, gdy grubość powłok zbliża się do 0, prowadzi do całki określonej.

Rysunek \ (\ PageIndex {2 } \): Określanie objętości cienkiej cylindrycznej skorupy.} \ Label {fig: soupcan}

Przypadki specjalne:

  1. Gdy obszar \ (R \) jest ograniczona przez \ (y = f (x) \), a poniżej przez \ (y = g (x) \), a następnie \ (h (x) = f (x) -g (x) \).
  2. Gdy osią obrotu jest oś \ (y \) – (tj. \ (x = 0 \)), to \ (r (x) = x \).

Poćwiczmy używanie metody powłoki.

W przypadku metody powłoki nie trzeba uwzględniać nic specjalnego, aby obliczyć objętość bryły z otworem w środku, jak pokazano poniżej.

Obracając region wokół osi poziomej, musimy rozważyć funkcje promienia i wysokości w kategoriach \ (y \), a nie \ (x \).

Na początku w tej sekcji stwierdzono, że „dobrze jest mieć opcje”. W następnym przykładzie można łatwo znaleźć objętość ciała stałego metodą powłoki, ale przy użyciu metody spryskiwacza od byłoby dość uciążliwe.

Kończymy tę sekcję tabelą podsumowującą użycie metod Washer i Shell.

Podobnie jak w poprzedniej sekcji, prawdziwym celem tej sekcji nie jest w stanie obliczyć objętości pewnych brył. Chodzi raczej o to, aby móc rozwiązać problem najpierw przez przybliżenie, a następnie użycie granic w celu udoskonalenia przybliżenia, aby uzyskać dokładną wartość. W tej sekcji przybliżamy objętość ciała stałego, przecinając go na cienkie cylindryczne skorupy. Sumując objętości każdej muszli, uzyskujemy przybliżoną objętość. Przyjmując granicę, gdy liczba równomiernie rozmieszczonych powłok osiąga nieskończoność, nasze sumowanie można obliczyć jako określoną całkę, podając dokładną wartość.

Używamy tej samej zasady ponownie w następnej sekcji, w której znajdź długość krzywych w płaszczyźnie.

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany. Pola, których wypełnienie jest wymagane, są oznaczone symbolem *