Statistische basisachtergrond

Hoofdstuk 2: Statistische basisachtergrond


Index

Hoofdstuk 2

Basis statistische achtergrond

Beschikbare software:
Weibull ++

Meer bronnen:
Weibull ++ Voorbeeldenverzameling

Download referentieboek:
Life Data Analysis (* .pdf)

Referentieboek genereren:
Bestand is mogelijk actueler

Deze sectie biedt een korte elementaire inleiding tot de meest voorkomende en fundamentele statistische vergelijkingen en definities die worden gebruikt in betrouwbaarheidstechniek en levensgegevensanalyse.

Willekeurige variabelen

In het algemeen hebben de meeste problemen bij betrouwbaarheidstechniek te maken met kwantitatieve metingen, zoals de time-to-failure van een component, of kwalitatieve metingen, zoals of een component defect of niet defect. We kunnen dan een willekeurige variabele X \, \! om deze mogelijke maatregelen aan te duiden.

Bij het beoordelen van een onderdeel als defect of niet-defect, zijn slechts twee uitkomsten mogelijk. Dat wil zeggen, X \, \! is een willekeurige variabele die een van de slechts twee waarden kan aannemen (laten we zeggen defect = 0 en niet-defect = 1). In dit geval wordt gezegd dat de variabele een discrete willekeurige variabele is.

De kansdichtheidsfunctie en de cumulatieve verdelingsfunctie

De kansdichtheidsfunctie (pdf) en de cumulatieve verdelingsfunctie (cdf) zijn twee van de belangrijkste statistische functies in betrouwbaarheid en zijn nauw verwant. bekend zijn, kan bijna elke andere relevante betrouwbaarheidsmaatstaf worden afgeleid of verkregen. We zullen deze functies nu nader bekijken en bekijken hoe ze zich verhouden tot andere betrouwbaarheidsmaatregelen, zoals de betrouwbaarheidsfunctie en het uitvalpercentage.

Uit kans en statistieken, gegeven een continue willekeurige variabele X, \, \! Geven we aan:

  • De kansdichtheidsfunctie, pdf, als f (x) \, \ !.
  • De cumulatieve distributiefunctie, cdf, als F (x) \, \ !.

De pdf en cdf geven een volledige beschrijving van de kansverdeling van een willekeurige variabele. De volgende afbeelding illustreert een pdf.

De volgende figuren illustreren de pdf – cdf-relatie.

P (a \ le X \ le b) = \ int_ {a} ^ {b} f (x) dx \ \, \!

De cdf is een functie, F (x) \, \ !, van een willekeurige variabele X \, \ !, en is gedefinieerd voor een getal x \, \! door:

F (x) = P (X \ le x) = \ int_ {0} ^ {x} f (s) ds \ \, \!

Wiskundige relatie: pdf en cdf

De wiskundige relatie tussen pdf en cdf wordt gegeven door:

F (x) = \ int_ {0} ^ {x} f (s) ds \, \!

waar s \, \! is een dummy-integratievariabele.

Omgekeerd:

f (x) = \ frac {d (F (x))} {dx} \, \!

De cdf is het gebied onder de kansdichtheidsfunctie tot een waarde van x \, \ !. De totale oppervlakte onder de pdf is altijd gelijk aan 1, of wiskundig gezien:

\ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} f (x) dx = 1 \, \!

De bekende normale (of Gaussiaanse) verdeling is een voorbeeld van een kansdichtheidsfunctie. De pdf voor deze distributie wordt gegeven door:

f (t) = \ frac {1} {\ sigma \ sqrt {2 \ pi}} {{e} ^ {- \ tfrac {1} {2} { {\ left (\ tfrac {t- \ mu} {\ sigma} \ right)} ^ {2}}}} \, \!

Een andere is de lognormale distributie, waarvan de pdf wordt gegeven door:

f (t) = \ frac {1} {t \ cdot {{\ sigma} ^ {\ prime}} \ sqrt {2 \ pi }} {{e} ^ {- \ tfrac {1} {2} {{\ left (\ tfrac {{{t} ^ {\ prime}} – {{\ mu} ^ {\ prime}}} {{ {\ sigma} ^ {\ prime}}} \ right)} ^ {2}}}} \, \!

Betrouwbaarheidsfunctie

F (t) = \ int_ {0} ^ {t} f (s) ds \ \, \!

Of je zou deze gebeurtenis kunnen gelijkstellen aan de kans dat een eenheid uitvalt op tijd t \, \ !.

Aangezien deze functie de kans op uitval op een bepaalde tijd definieert, zouden we dit kunnen beschouwen als de onbetrouwbaarheid functie. Door deze kans af te trekken van 1, krijgen we de betrouwbaarheidsfunctie, een van de belangrijkste functies in levensdata-analyse. De betrouwbaarheidsfunctie geeft de kans op succes weer van een eenheid die een missie van een bepaalde tijdsduur uitvoert. De volgende afbeelding illustreert dit.

Q (t) = F (t) = \ int_ {0} ^ {t} f (s) ds \, \!

Betrouwbaarheid en onbetrouwbaarheid zijn de enige twee gebeurtenissen die worden overwogen en ze sluiten elkaar wederzijds uit; vandaar dat de som van deze kansen gelijk is aan eenheid.

Dan:

\ begin {align} Q (t) + R (t) = & 1 \\ R (t) = & 1-Q (t) \\ R (t) = & 1- \ int_ {0} ^ {t} f (s) ds \\ R (t) = & \ int_ {t} ^ {\ infty} f (s) ds \ end {align} \, \!

Omgekeerd:

f (t) = – \ frac {d (R (t))} {dt} \, \!

Voorwaardelijke betrouwbaarheidsfunctie

Voorwaardelijke betrouwbaarheid is de waarschijnlijkheid dat een andere missie met succes wordt voltooid na de succesvolle voltooiing van een vorige missie. Bij voorwaardelijke betrouwbaarheidsberekeningen moet rekening worden gehouden met de tijd van de vorige missie en de tijd waarop de missie moet worden ondernomen. De voorwaardelijke betrouwbaarheidsfunctie wordt gegeven door:

R (t | T) = \ frac {R (T + t)} {R (T)} \ \, \!

Failure Rate-functie

Met de Failure Rate-functie kan het aantal storingen per tijdseenheid worden bepaald. Als de afleiding wordt weggelaten, wordt het uitvalpercentage wiskundig gegeven als:

\ lambda (t) = \ frac {f (t)} {R (t)} \ \, \!

Dit geeft het momentane uitvalpercentage, ook wel de gevarenfunctie genoemd. Het is nuttig bij het karakteriseren van het storingsgedrag van een component, het bepalen van de toewijzing van onderhoudspersoneel, het plannen van de levering van reserveonderdelen, etc. Het uitvalpercentage wordt aangeduid als het aantal storingen per tijdseenheid.

Mean Life (MTTF)

De gemiddelde levensduur, die een maat geeft voor de gemiddelde duur van de operatie tot een storing, wordt gegeven door:

\ overline {T} = m = \ int_ {0} ^ {\ infty} t \ cdot f (t) dt \, \!

Dit is de verwachte of gemiddelde time-to-failure en wordt aangeduid als de MTTF (Mean Time To Failure).

De MTTF, hoewel een index van betrouwbaarheidsprestaties, geeft geen informatie over de foutverdeling van de component in kwestie bij het omgaan met de meeste levensduurverdelingen. Omdat enorm verschillende distributies identieke middelen kunnen hebben, is het onverstandig om de MTTF te gebruiken als de enige maatstaf voor de betrouwbaarheid van een component.

Median Life

\ int _ {- \ infty} ^ {{ \ breve {T}}} f (t) dt = 0,5 \ \, \!

Modaal leven (of modus)

Het modale leven (of modus), \ tilde {T} \, \ !, is de waarde van T \, \! dat voldoet aan:

\ frac {d \ left} {dt} = 0 \ \, \!

Voor een continue distributie is de modus die waarde van t \, \! die overeenkomt met de maximale waarschijnlijkheidsdichtheid (de waarde waarbij de pdf zijn maximale waarde heeft, of de piek van de curve).

Lifetime Distributions

Een statistische verdeling wordt volledig beschreven door zijn pdf. In de vorige paragrafen hebben we de definitie van de pdf gebruikt om te laten zien hoe alle andere functies die het meest worden gebruikt in betrouwbaarheidstechniek en levensgegevensanalyse kunnen worden afgeleid. De betrouwbaarheidsfunctie, uitvalpercentagefunctie, gemiddelde tijdfunctie en mediaanlevensfunctie kunnen rechtstreeks worden bepaald uit de pdf-definitie of f (t) \, \ !. Er zijn verschillende verdelingen, zoals de normale (Gaussiaanse), exponentiële, Weibull, enz., En elk heeft een vooraf gedefinieerde vorm van f (t) \, \! die in veel referenties terug te vinden zijn. In feite zijn er bepaalde verwijzingen die uitsluitend zijn gewijd aan verschillende soorten statistische distributies. Deze verdelingen zijn opgesteld door statistici, wiskundigen en ingenieurs om bepaald gedrag wiskundig te modelleren of weer te geven. De Weibull-distributie is bijvoorbeeld opgesteld door Waloddi Weibull en draagt dus zijn naam. Sommige distributies geven de neiging om levensgegevens beter weer te geven en worden meestal “levenslange distributies” genoemd.

Een meer gedetailleerde inleiding op dit onderwerp wordt gepresenteerd in Levensdistributies.

Geef een reactie

Het e-mailadres wordt niet gepubliceerd. Vereiste velden zijn gemarkeerd met *