Grunnleggende statistisk bakgrunn

Kapittel 2: Grunnleggende statistisk bakgrunn


indeks

kapittel 2

Grunnleggende statistisk bakgrunn

Tilgjengelig programvare:
Weibull ++

Flere ressurser:
Weibull ++ Eksempler på samling

Last ned referansebok:
Livsdataanalyse (* .pdf)

Generer referansebok:
Filen kan være mer oppdatert

Dette avsnittet gir en kort elementær introduksjon til de vanligste og grunnleggende statistiske ligningene og definisjonene som brukes i pålitelighetsteknikk og livsdataanalyse.

Tilfeldige variabler

Generelt sett håndterer de fleste problemer innen pålitelighetsteknikk kvantitative tiltak, for eksempel tid til feil på en komponent, eller kvalitative tiltak, for eksempel om en komponent er defekt eller ikke-defekt. Vi kan da bruke en tilfeldig variabel X \, \! å betegne disse mulige tiltakene.

Ved å bedømme en komponent som mangelfull eller ikke-mangelfull, er bare to utfall mulig. Det vil si X \, \! er en tilfeldig variabel som kan ta på seg en av bare to verdier (la oss si defekt = 0 og ikke-defekt = 1). I dette tilfellet sies variabelen å være en diskret tilfeldig variabel.

Sannsynlighetsdensitetsfunksjonen og den kumulative fordelingsfunksjonen

Sannsynlighetstetthetsfunksjonen (pdf) og den kumulative fordelingsfunksjonen (cdf) er to av de viktigste statistiske funksjonene i pålitelighet og er veldig nært beslektet. Når disse funksjonene er kjent, kan nesten ethvert annet pålitelighetsmål av interesse utledes eller oppnås. Vi vil nå se nærmere på disse funksjonene og hvordan de forholder seg til andre pålitelighetsmål, for eksempel pålitelighetsfunksjonen og feilfrekvensen.

Fra sannsynlighet og statistikk, gitt en kontinuerlig tilfeldig variabel X, \, \! Betegner vi:

  • Sannsynlighetstetthetsfunksjonen, pdf, som f (x) \, \ !.
  • Den kumulative fordelingsfunksjonen, cdf, som F (x) \, \ !.

PDF og cdf gir en fullstendig beskrivelse av sannsynlighetsfordelingen av en tilfeldig variabel. Følgende figur illustrerer en pdf.

De neste figurene illustrerer forholdet pdf – cdf.

P (a \ le X \ le b) = \ int_ {a} ^ {b} f (x) dx \ \, \!

Cdf er en funksjon, F (x) \, \ !, av en tilfeldig variabel X \, \ !, og er definert for tallet x \, \! av:

F (x) = P (X \ le x) = \ int_ {0} ^ {x} f (s) ds \ \, \!

Matematisk forhold: pdf og cdf

Det matematiske forholdet mellom pdf og cdf er gitt av:

F (x) = \ int_ {0} ^ {x} f (s) ds \, \!

hvor s \, \! er en dummy-integrasjonsvariabel.

Omvendt:

f (x) = \ frac {d (F (x))} {dx} \, \!

Cdf er området under sannsynlighetstetthetsfunksjonen opp til verdien x \, \ !. Det totale arealet under pdf-filen er alltid lik 1, eller matematisk:

\ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} f (x) dx = 1 \, \!

Den velkjente normalfordelingen (eller Gauss) er et eksempel på en sannsynlighetstetthetsfunksjon. PDF-en for denne distribusjonen er gitt av:

f (t) = \ frac {1} {\ sigma \ sqrt {2 \ pi}} {{e} ^ {- \ tfrac {1} {2} { {\ left (\ tfrac {t- \ mu} {\ sigma} \ right)} ^ {2}}}}, \!

En annen er lognormalfordelingen, hvis pdf er gitt av:

f (t) = \ frac {1} {t \ cdot {{\ sigma} ^ {\ prime}} \ sqrt {2 \ pi }} {{e} ^ {- \ tfrac {1} {2} {{\ left (\ tfrac {{{t} ^ {\ prime}} – {{\ mu} ^ {\ prime}}} {{ {\ sigma} ^ {\ prime}}} høyre)} ^ {2}}}} \, \!

Pålitelighetsfunksjon

F (t) = \ int_ {0} ^ {t} f (s) ds \ \, \!

Eller man kan tilpasse denne hendelsen til sannsynligheten for at en enhet mislykkes med tiden t \, \ !.

Siden denne funksjonen definerer sannsynligheten for feil på en viss tid, kan vi vurdere dette som upålitelighetsfunksjon. Å trekke denne sannsynligheten fra 1 vil gi oss pålitelighetsfunksjonen, en av de viktigste funksjonene i livsdataanalyse. Pålitelighetsfunksjonen gir sannsynligheten for suksess for en enhet som utfører et oppdrag med en gitt varighet. Figuren nedenfor illustrerer dette.

Q (t) = F (t) = \ int_ {0} ^ {t} f (s) ds \, \!

Pålitelighet og upålitelighet er de eneste to hendelsene som vurderes, og de er gjensidig utelukkende; derfor er summen av disse sannsynlighetene lik enhet.

Deretter:

\ begin {align} Q (t) + R (t) = & 1 \\ R (t) = & 1-Q (t) \\ R (t) = & 1- \ int_ {0} ^ {t} f (s) ds \\ R (t) = & \ int_ {t} ^ {\ infty} f (s) ds \ end {align} \, \!

Omvendt:

f (t) = – \ frac {d (R (t))} {dt} \, \!

Betinget pålitelighetsfunksjon

Betinget pålitelighet er sannsynligheten for å fullføre et nytt oppdrag etter vellykket gjennomføring av et tidligere oppdrag. Tidspunktet for forrige oppdrag og tiden for oppdraget må tas i betraktning for beregninger av betinget pålitelighet. Funksjonen for betinget pålitelighet er gitt av:

R (t | T) = \ frac {R (T + t)} {R (T)} \ \, \!

Funksjon for feilfrekvens

Funksjonen for feilfrekvens muliggjør bestemmelse av antall feil som oppstår per tidsenhet. Utelatelse av avledningen er feilfrekvensen matematisk gitt som:

\ lambda (t) = \ frac {f (t)} {R (t)} \ \, \!

Dette gir den øyeblikkelige feilfrekvensen, også kjent som farefunksjonen. Det er nyttig for å karakterisere sviktoppførselen til en komponent, bestemme tildelingen av vedlikeholdsbesetningen, planlegge for reservedelstilbud osv. Feilfrekvensen betegnes som feil per tidsenhet.

Gjennomsnittlig levetid (MTTF)

Gjennomsnittlig levetid, som gir et mål på gjennomsnittlig driftstid til feil, er gitt av:

\ overline {T} = m = \ int_ {0} ^ {\ infty} t \ cdot f (t) dt \, \!

Dette er forventet eller gjennomsnittlig tid til feil og er betegnet som MTTF (Mean Time To Failure).

MTTF, selv om det er en indeks for pålitelighetsytelse, gir ingen informasjon om feilfordelingen til den aktuelle komponenten når du arbeider med de fleste livstidsfordelinger. Fordi vidt forskjellige distribusjoner kan ha identiske midler, er det uklokt å bruke MTTF som det eneste målet for påliteligheten til en komponent.

Median Life

\ int _ {- \ infty} ^ {{ \ breve {T}}} f (t) dt = 0,5 \ \, \!

Modal levetid (eller modus)

Modal levetid (eller modus), \ tilde {T} \, \ !, er verdien av T \, \! som tilfredsstiller:

\ frac {d \ left} {dt} = 0 \ \, \!

For en kontinuerlig fordeling er modusen den verdien av t \, \! som tilsvarer den maksimale sannsynlighetstettheten (verdien som pdf har sin maksimale verdi, eller kurvetoppen).

Lifetime Distributions

En statistisk fordeling er fullstendig beskrevet av sin pdf. I de forrige avsnittene brukte vi definisjonen av pdf for å vise hvordan alle andre funksjoner som oftest brukes i pålitelighetsteknikk og livsdataanalyse, kan utledes. Pålitelighetsfunksjonen, feilfrekvensfunksjonen, gjennomsnittstidsfunksjonen og medianfunksjonen kan bestemmes direkte fra pdf-definisjonen, eller f (t) \, \ !. Forskjellige distribusjoner eksisterer, slik som normal (Gaussisk), eksponensiell, Weibull, etc., og hver har en forhåndsdefinert form for f (t) \, \! som finnes i mange referanser. Faktisk er det visse referanser som er viet utelukkende til forskjellige typer statistiske distribusjoner. Disse distribusjonene ble formulert av statistikere, matematikere og ingeniører for å matematisk modellere eller representere viss oppførsel. For eksempel ble Weibull-distribusjonen formulert av Waloddi Weibull og bærer dermed navnet hans. Noen distribusjoner har en tendens til bedre å representere livsdata og kalles oftest for «livsdistribusjoner».

En mer detaljert introduksjon til dette emnet presenteres i livsdistribusjoner.

Legg igjen en kommentar

Din e-postadresse vil ikke bli publisert. Obligatoriske felt er merket med *