6.3: Volumes of Revolution: The Shell Method

Ofte kan et gitt problem løses på mer enn én måte. En bestemt metode kan velges ut fra bekvemmelighet, personlig preferanse eller kanskje nødvendighet. Til syvende og sist er det bra å ha alternativer.

Den forrige delen introduserte disk- og vaskemetodene, som beregnet volumet av revolusjonsfaststoff ved å integrere tverrsnittsarealet til det faste stoffet. Denne delen utvikler en annen metode for beregningsvolum, Shell-metoden. I stedet for å skjære det faste vinkelrett på rotasjonsaksen og skape tverrsnitt, skjærer vi det nå parallelt med rotasjonsaksen og skaper «skjell.»

Tenk på figur \ (\ PageIndex {1} \) hvor regionen vist i (a) roteres rundt \ (y \) – aksen og danner det faste stoffet vist i (b). En liten del av regionen er tegnet i (a), parallelt med rotasjonsaksen. Når regionen roteres, danner denne tynne skiven et sylindrisk skall, som vist i del (c) av figuren. Den forrige delen tilnærmet et solid med mange tynne skiver (eller skiver); vi tilnærmer nå et solid med mange tynne sylindriske skall.

Figur \ (\ PageIndex {1} \): Introduksjon av Shell-metoden.

Figur \ (\ PageIndex { 1} \) (d): En dynamisk versjon av denne figuren opprettet ved hjelp av CalcPlot3D.

Ved å bryte det faste stoffet i \ (n \) sylindriske skall, kan vi tilnærme volumet av det faste stoffet som

$$ V = \ sum_ {i = 1} ^ n 2 \ pi r_ih_i \ dx_i, $$

hvor \ (r_i \), \ (h_i \) og \ (dx_i \) er henholdsvis radius, høyde og tykkelse på \ (i \, ^ \ text {th} \) skallet.

Dette er en Riemann-sum. Å ta en grense når tykkelsen på skjellene nærmer seg 0, fører til en bestemt integral.

Figur \ (\ PageIndex {2 } \): Bestem volumet av et tynt sylindrisk skall.} \ Label {fig: soupcan}

Spesielle tilfeller:

  1. Når regionen \ (R \) er avgrenset over av \ (y = f (x) \) og under av \ (y = g (x) \), deretter \ (h (x) = f (x) -g (x) \).
  2. Når rotasjonsaksen er \ (y \) – aksen (dvs. \ (x = 0 \)), så \ (r (x) = x \).

La oss øve på å bruke Shell-metoden.

Med Shell-metoden trenger du ikke ta hensyn til noe spesielt for å beregne volumet til et fast stoff som har et hull i midten, som vist neste.

Når vi dreier et område rundt en horisontal akse, må vi ta hensyn til radius- og høydefunksjonene i form av \ (y \), ikke \ (x \).

I begynnelsen av denne delen ble det uttalt at «det er bra å ha alternativer.» Det neste eksemplet finner volumet av et fast stoff ganske enkelt med Shell-metoden, men ved å bruke vaskemetoden od ville være ganske vanskelig.

Vi avslutter denne delen med en tabell som oppsummerer bruken av vaskemaskin- og skallmetodene.

Som i forrige avsnitt, det virkelige målet for denne seksjonen er ikke å kunne beregne volumer av visse faste stoffer. Snarere er det å kunne løse et problem ved først å tilnærme seg, deretter bruke grenser for å avgrense tilnærmingen for å gi den eksakte verdien. I denne delen tilnærmer vi volumet til et fast stoff ved å kutte det i tynne sylindriske skall. Ved å oppsummere volumene til hvert skall, får vi en tilnærming til volumet. Ved å ta en grense ettersom antall skall med like avstand går til uendelig, kan summeringen vår vurderes som en bestemt integral, noe som gir den eksakte verdien.

Vi bruker det samme prinsippet igjen i neste avsnitt, der vi finn kurvlengden i flyet.

Legg igjen en kommentar

Din e-postadresse vil ikke bli publisert. Obligatoriske felt er merket med *