기본 통계 배경

2 장 : 기본 통계 배경


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사용 가능한 소프트웨어 :
Weibull ++

추가 리소스 :
Weibull ++ 예제 모음

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생명 데이터 분석 (* .pdf)

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이 섹션에서는 신뢰성 공학 및 생명 데이터 분석에 사용되는 가장 일반적이고 기본적인 통계 방정식 및 정의에 대한 간략한 기본 소개를 제공합니다.

무작위 변수

일반적으로 안정성 엔지니어링의 대부분의 문제는 구성 요소의 고장 시간과 같은 정량적 측정 또는 구성 요소가 있는지 여부와 같은 정 성적 측정을 다룹니다. 결함이 있거나 결함이 없습니다. 그런 다음 임의 변수 X \, \! 이러한 가능한 조치를 나타냅니다.

부품이 결함이 있거나 결함이없는 것으로 판단 할 때 두 가지 결과 만 가능합니다. 즉, X \, \! 두 값 중 하나만 취할 수있는 랜덤 변수입니다 (결함 = 0 및 비결 함 = 1).이 경우 변수는 이산 랜덤 변수라고합니다.

확률 밀도 함수 및 누적 분포 함수

확률 밀도 함수 (pdf)와 누적 분포 함수 (cdf)는 신뢰도에서 가장 중요한 두 가지 통계 함수이며 매우 밀접하게 관련되어 있습니다. 관심있는 거의 모든 다른 신뢰성 측정 값을 도출하거나 얻을 수 있습니다. 이제 이러한 기능과 이러한 기능이 신뢰성 기능 및 실패율과 같은 다른 신뢰성 측정과 어떻게 관련되는지 자세히 살펴 보겠습니다.

확률 및 통계에서 연속 랜덤 변수 X, \, \!가 주어지면 다음을 나타냅니다.

  • 확률 밀도 함수, pdf, as f (x) \, \ !.
  • 누적 분포 함수 cdf, F (x) \, \ !.

pdf 및 cdf는 다음에 대한 완전한 설명을 제공합니다. 확률 변수의 확률 분포. 다음 그림은 pdf를 보여줍니다.

다음 그림은 pdf-cdf 관계를 보여줍니다.

P (a \ le X \ le b) = \ int_ {a} ^ {b} f (x) dx \ \, \!

cdf는 임의 변수 X \, \!의 함수 F (x) \, \!이며 숫자 x \, \!에 대해 정의됩니다. 작성자 :

F (x) = P (X \ le x) = \ int_ {0} ^ {x} f (s) ds \ \, \!

수학적 관계 : pdf 및 cdf

pdf와 cdf 간의 수학적 관계는 다음과 같이 지정됩니다.

F (x) = \ int_ {0} ^ {x} f (s) ds \, \!

여기서 s \, \! 더미 적분 변수입니다.

반대로 :

f (x) = \ frac {d (F (x))} {dx} \, \!

cdf는 x \, \!의 값까지 확률 밀도 함수 아래 영역입니다. pdf 아래의 총 면적은 항상 1 또는 수학적으로 같습니다.

\ int _ {-\ infty} ^ {+ \ infty} f (x) dx = 1 \, \!

잘 알려진 정규 (또는 가우스) 분포는 확률 밀도 함수의 예입니다. 이 배포판의 pdf는 다음과 같이 제공됩니다.

f (t) = \ frac {1} {\ sigma \ sqrt {2 \ pi}} {{e} ^ {-\ tfrac {1} {2} { {\ left (\ tfrac {t- \ mu} {\ sigma} \ right)} ^ {2}}}} \, \!

다른 하나는 로그 정규 분포이며, pdf는 다음과 같이 지정됩니다.

f (t) = \ frac {1} {t \ cdot {{\ sigma} ^ {\ prime}} \ sqrt {2 \ pi }} {{e} ^ {-\ tfrac {1} {2} {{\ left (\ tfrac {{{t} ^ {\ prime}}-{{\ mu} ^ {\ prime}}} {{ {\ sigma} ^ {\ prime}}} \ right)} ^ {2}}}} \, \!

신뢰성 함수

F (t) = \ int_ {0} ^ {t} f (s) ds \ \, \!

또는이 사건을 시간 t \, \!까지 유닛이 실패 할 확률과 동일시 할 수 있습니다.

이 함수는 특정 시간까지 실패 할 확률을 정의하기 때문에 이것을 고려할 수 있습니다. 비 신뢰성 기능. 이 확률을 1에서 빼면 생명 데이터 분석에서 가장 중요한 함수 중 하나 인 신뢰도 함수가 제공됩니다. 신뢰도 함수는 주어진 시간 동안 임무를 수행하는 유닛의 성공 확률을 제공합니다. 다음 그림은이를 보여줍니다.

Q (t) = F (t) = \ int_ {0} ^ {t} f (s) ds \, \!

신뢰성과 비 신뢰성은 고려되는 유일한 두 가지 이벤트이며 상호 배타적입니다. 따라서 이러한 확률의 합은 1과 같습니다.

그런 다음 :

\ begin {align} Q (t) + R (t) = & 1 \\ R (t) = & 1-Q (t) \\ R (t) = & 1- \ int_ {0} ^ {t} f (s) ds \\ R (t) = & \ int_ {t} ^ {\ infty} f (s) ds \ end {align} \, \!

반대로 :

f (t) =-\ frac {d (R (t))} {dt} \, \!

조건부 신뢰도 함수

조건부 신뢰도는 이전 임무를 성공적으로 완료 한 후 다른 임무를 성공적으로 완료 할 확률입니다. 조건부 신뢰도 계산을 위해 이전 임무 시간과 임무 수행 시간을 고려해야합니다. 조건부 신뢰도 함수는 다음과 같이 지정됩니다.

R (t | T) = \ frac {R (T + t)} {R (T)} \ \, \!

고장률 함수

고장률 함수를 사용하면 단위 시간당 발생하는 오류 수를 확인할 수 있습니다. 도출을 생략하면 실패율은 수학적으로 다음과 같이 주어집니다.

\ lambda (t) = \ frac {f (t)} {R (t)} \ \, \!

이것은 위험 함수라고도하는 순간 고장률을 제공합니다. 구성 요소의 고장 동작을 특성화하고, 유지 보수 직원 할당을 결정하고, 예비품 프로비저닝을 계획하는 데 유용합니다. 고장률은 단위 시간당 고장으로 표시됩니다.

평균 수명 (MTTF)

평균 작동 시간을 측정하는 평균 수명 함수는 다음과 같이 지정됩니다.

\ overline {T} = m = \ int_ {0} ^ {\ infty} t \ cdot f (t) dt \, \!

이것은 예상 또는 평균 고장 시간이며 MTTF (Mean Time To Failure)로 표시됩니다.

MTTF는 신뢰성 성능의 지표이지만 대부분의 수명 분포를 다룰 때 문제가되는 구성 요소의 고장 분포에 대한 정보를 제공하지 않습니다. 매우 다른 분포는 동일한 평균을 가질 수 있기 때문에 MTTF를 구성 요소의 신뢰성을 측정하는 유일한 척도로 사용하는 것은 현명하지 않습니다.

중간 수명

\ int _ {-\ infty} ^ {{ \ breve {T}}} f (t) dt = 0.5 \ \, \!

모달 수명 (또는 모드)

모달 수명 (또는 모드) \ tilde {T} \, \!는 T \, \!의 값입니다. 충족 :

\ frac {d \ left} {dt} = 0 \ \, \!

연속 분포의 경우 최빈값은 t \, \! 최대 확률 밀도 (pdf가 최대 값 또는 곡선의 정점을 갖는 값)에 해당합니다.

평생 분포

통계 분포는 다음과 같이 완전히 설명됩니다. 그것의 pdf. 이전 섹션에서는 pdf의 정의를 사용하여 신뢰성 엔지니어링 및 수명 데이터 분석에서 가장 일반적으로 사용되는 다른 모든 기능을 어떻게 도출 할 수 있는지 보여주었습니다. 신뢰도 함수, 고장률 함수, 평균 시간 함수 및 중간 수명 함수는 pdf 정의 또는 f (t) \, \!에서 직접 결정할 수 있습니다. 정규 (Gaussian), 지수, Weibull 등과 같은 다양한 분포가 존재하며 각 분포는 미리 정의 된 f (t) \, \! 많은 참고 문헌에서 찾을 수 있습니다. 사실, 다른 유형의 통계 분포에만 전념하는 특정 참고 자료가 있습니다. 이러한 분포는 통계 학자, 수학자 및 엔지니어가 특정 행동을 수학적으로 모델링하거나 표현하기 위해 공식화했습니다. 예를 들어, Weibull 분포는 Waloddi Weibull에 의해 공식화되었으므로 그의 이름을 따릅니다. 일부 분포는 수명 데이터를 더 잘 나타내는 경향이 있으며 가장 일반적으로 “평생 분포”라고합니다.

이 주제에 대한 자세한 소개는 Life Distributions에 나와 있습니다.

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