基本的な統計的背景

第2章:基本的な統計的背景


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第2章

基本的な統計的背景

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このセクションでは、信頼性工学と寿命データ分析で使用される最も一般的で基本的な統計方程式と定義について簡単に説明します。

確率変数

一般に、信頼性工学のほとんどの問題は、コンポーネントの故障までの時間などの定量的測定、またはコンポーネントが故障しているかどうかなどの定性的測定を扱います。欠陥または非欠陥。次に、確率変数X \、\!を使用できます。これらの可能な対策を示すために。

コンポーネントに欠陥があるかどうかを判断する場合、2つの結果のみが可能です。つまり、X \、\!は、2つの値(たとえば、欠陥= 0および非欠陥= 1)のいずれかを取ることができる確率変数です。この場合、変数は離散確率変数と呼ばれます。

確率密度関数と累積分布関数

確率密度関数(pdf)と累積分布関数(cdf)は、信頼性において最も重要な統計関数の2つであり、非常に密接に関連しています。既知の場合、関心のある他のほとんどすべての信頼性指標を導出または取得できます。次に、これらの関数と、信頼性関数や故障率などの他の信頼性指標との関係を詳しく見ていきます。

確率と統計から、連続確率変数X、\、\!が与えられると、次のようになります。

  • 確率密度関数pdf、f(x)\、\!。
  • 累積分布関数cdf、as F(x)\、\!。

pdfとcdfは、確率変数の確率分布。次の図はpdfを示しています。

次の図は、pdfとcdfの関係を示しています。

P(a \ le X \ le b)= \ int_ {a} ^ {b} f(x)dx \ \、\!

累積分布関数は確率変数X \、\!の関数F(x)\、\!であり、数値x \、\!に対して定義されます。作成者:

F(x)= P(X \ le x)= \ int_ {0} ^ {x} f(s)ds \ \、\!

数学的関係:pdfとcdf

pdfとcdfの数学的関係は、次の式で与えられます。

F(x)= \ int_ {0} ^ {x} f(s) ds \、\!

where s \、\!はダミーの積分変数です。

逆に:

f(x)= \ frac {d(F(x))} {dx} \、\!

累積分布関数は、x \、\!の値までの確率密度関数の下の領域です。 pdfの下の総面積は常に1に等しいか、数学的に次のようになります。

\ int _ {-\ infty} ^ {+ \ infty} f(x)dx = 1 \、\!

よく知られている正規(またはガウス)分布は、確率密度関数の例です。このディストリビューションのPDFは次のようになります。

f(t)= \ frac {1} {\ sigma \ sqrt {2 \ pi}} {{e} ^ {-\ tfrac {1} {2} { {\ left(\ tfrac {t- \ mu} {\ sigma} \ right)} ^ {2}}}} \、\!

もう1つは対数正規分布で、そのpdfは次の式で与えられます。

f(t)= \ frac {1} {t \ cdot {{\ sigma} ^ {\ prime}} \ sqrt {2 \ pi }} {{e} ^ {-\ tfrac {1} {2} {{\ left(\ tfrac {{{t} ^ {\ prime}}-{{\ mu} ^ {\ prime}}} {{ {\ sigma} ^ {\ prime}}} \ right)} ^ {2}}}} \、\!

信頼性関数

F(t)= \ int_ {0} ^ {t} f(s)ds \ \、\!

または、このイベントを時間t \、\!までにユニットが故障する確率と同等にすることができます。

この関数は特定の時間までに故障する確率を定義するため、これを次のように考えることができます。信頼性の低い機能。この確率を1から引くと、生命データ分析で最も重要な関数の1つである信頼性関数が得られます。信頼性関数は、特定の期間の任務を遂行するユニットの成功の確率を示します。次の図はこれを示しています。

Q(t)= F(t)= \ int_ {0} ^ {t} f(s)ds \、\!

信頼性と非信頼性は考慮されている2つのイベントのみであり、相互に排他的です。したがって、これらの確率の合計は1に等しくなります。

次に:

\ begin {align} Q(t)+ R(t)= & 1 \\ R(t)= & 1-Q(t)\\ R(t)= & 1- \ int_ {0} ^ {t} f(s) ds \\ R(t)= & \ int_ {t} ^ {\ infty} f(s)ds \ end {align} \、\!

逆に:

f(t)=-\ frac {d(R(t))} {dt} \、\!

条件付き信頼性関数

条件付き信頼性は、前のミッションが正常に完了した後、別のミッションを正常に完了する確率です。条件付き信頼性の計算では、前のミッションの時間とミッションが実行される時間を考慮する必要があります。条件付き信頼性関数は次の式で与えられます。

R(t | T)= \ frac {R(T + t)} {R(T)} \ \、\!

故障率関数

故障率関数を使用すると、単位時間あたりに発生した故障の数を判別できます。導出を省略すると、故障率は数学的に次のように与えられます。

\ lambda(t)= \ frac {f(t)} {R(t)} \ \、\!

これにより、ハザード関数とも呼ばれる瞬間的な故障率が得られます。これは、コンポーネントの障害動作の特性評価、保守要員の割り当ての決定、スペアプロビジョニングの計画などに役立ちます。障害率は、単位時間あたりの障害として示されます。

平均寿命(MTTF)

平均動作時間の測定値を提供する平均寿命関数は、次の式で与えられます。

\ overline {T} = m = \ int_ {0} ^ {\ infty} t \ cdot f(t)dt \、\!

これは予想または平均故障時間であり、MTTF(平均故障間隔)として示されます。

MTTFは、信頼性パフォーマンスの指標ですが、ほとんどの寿命分布を処理する場合、問題のコンポーネントの故障分布に関する情報を提供しません。大きく異なる分布は同じ平均を持つ可能性があるため、コンポーネントの信頼性の唯一の尺度としてMTTFを使用することは賢明ではありません。

平均寿命

\ int _ {-\ infty} ^ {{ \ breve {T}}} f(t)dt = 0.5 \ \、\!

モーダルライフ(またはモード)

モーダルライフ(またはモード)\ tilde {T} \、\!は、T \、\!の値です。を満たす:

\ frac {d \ left} {dt} = 0 \ \、\!

連続分布の場合、最頻値はt \、\!の値です。これは、最大確率密度(pdfが最大値になる値、または曲線のピーク)に対応します。

寿命分布

統計分布は次のように完全に記述されます。そのpdf。前のセクションでは、pdfの定義を使用して、信頼性工学および寿命データ分析で最も一般的に使用される他のすべての関数を導出する方法を示しました。信頼性関数、故障率関数、平均時間関数、および寿命関数の中央値は、pdf定義、またはf(t)\、\!から直接決定できます。正規(ガウス)、指数、ワイブルなど、さまざまな分布が存在し、それぞれに事前定義された形式のf(t)\、\!があります。それは多くの参考文献にあります。実際、さまざまなタイプの統計分布にのみ専念している特定の参照があります。これらの分布は、特定の動作を数学的にモデル化または表すために、統計学者、数学者、およびエンジニアによって作成されました。たとえば、ワイブル分布はWaloddi Weibullによって作成されたため、彼の名前が付けられています。一部の分布は、生命データをより適切に表す傾向があり、最も一般的には「生涯分布」と呼ばれます。

このトピックの詳細については、生命分布を参照してください。

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