Alapvető statisztikai háttér

2. fejezet: Alapvető statisztikai háttér


Tárgymutató

2. fejezet

Alapvető statisztikai háttér

Elérhető szoftver:
Weibull ++

További források:
Weibull ++ Példák Gyűjtemény

Referenciakönyv letöltése:
Életadatok elemzése (* .pdf)

Referenciakönyv létrehozása:
A fájl naprakészebb lehet

Ez a szakasz rövid elemi bevezetést nyújt a leggyakoribb és alapvető statisztikai egyenletekhez és definíciókhoz, amelyeket a megbízhatósági tervezés és az életadatok elemzése során használnak.

Véletlen változók

Általában a megbízhatósági tervezés legtöbb problémája kvantitatív mérőszámokkal foglalkozik, mint például egy alkatrész meghibásodásáig eltelt idő, vagy minőségi mérésekkel, például azzal, hogy egy komponens hibás vagy nem hibás. Ezután használhatunk egy véletlen változót X \, \! hogy jelezzük ezeket a lehetséges intézkedéseket.

Ha egy összetevőt hibásnak vagy nem hibásnak ítélünk, csak két eredmény lehetséges. Vagyis X \, \! olyan véletlen változó, amely csak a két érték egyikét veheti fel (mondjuk hibás = 0 és nem hibás = 1). Ebben az esetben a változó egy diszkrét véletlen változó.

A valószínűségi sűrűség függvény és a kumulatív eloszlás függvény

A valószínűségi sűrűség függvény (pdf) és a kumulatív eloszlás függvény (cdf) a megbízhatóság két legfontosabb statisztikai függvénye, és nagyon szorosan kapcsolódnak egymáshoz. ismertek, szinte minden más megbízható megbízhatósági mutató levezethető vagy megszerezhető. Most közelebbről megvizsgáljuk ezeket a funkciókat, és hogyan viszonyulnak más megbízhatósági intézkedésekhez, például a megbízhatósági függvényhez és a meghibásodási arányhoz.

Valószínűségből és statisztikából egy folyamatos véletlen változóval X, \, \! Jelöljük a következőket:

  • A valószínűségi sűrűségfüggvény, pdf, mint f (x) \, \ !.
  • A cdf kumulatív elosztási függvény, mint F (x) \, \ !.

A pdf és a cdf teljes leírást ad egy véletlen változó valószínűségi eloszlása. A következő ábra egy pdf-t szemléltet.

A következő ábrák a pdf – cdf kapcsolatot szemléltetik.

P (a \ le X \ le b) = \ int_ {a} ^ {b} f (x) dx \ \, \!

A cdf az X \, \! véletlen változó F (x) \, \! függvénye, és egy x \, \! írta:

F (x) = P (X \ le x) = \ int_ {0} ^ {x} f (s) ds \ \, \!

Matematikai kapcsolat: pdf és cdf

A matematikai kapcsolatot a pdf és a cdf között a következő adja:

F (x) = \ int_ {0} ^ {x} f (s) ds \, \!

ahol s \, \! egy dummy integrációs változó.

Fordítva:

f (x) = \ frac {d (F (x))} {dx} \, \!

A cdf a valószínűségi sűrűségfüggvény alatti terület x \, \! értékig. A pdf alatti teljes terület mindig egyenlő 1-vel, vagy matematikailag:

\ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} f (x) dx = 1 \, \!

A jól ismert normális (vagy Gauss-féle) eloszlás a valószínűségi sűrűségfüggvény példája. Az eloszlás pdf-jét a következő adja:

f (t) = \ frac {1} {\ sigma \ sqrt {2 \ pi}} {{e} ^ {- \ tfrac {1} {2} { {\ balra (\ tfrac {t- \ mu} {\ sigma} \ jobbra)} ^ {2}}}} \, \!

Egy másik a lognormális eloszlás, amelynek pdf-jét a következő adja:

f (t) = \ frac {1} {t \ cdot {{\ sigma} ^ {\ prime}} \ sqrt {2 \ pi }} {{e} ^ {- \ tfrac {1} {2} {{\ left (\ tfrac {{{t} ^ {\ prime}} – {{\ mu} ^ {\ prime}}} {{ {\ sigma} ^ {\ prime}}} \ jobbra)} ^ {2}}}} \, \!

Megbízhatósági funkció

F (t) = \ int_ {0} ^ {t} f (s) ds \ \, \!

Vagy ezt az eseményt össze lehet hasonlítani egy egység meghibásodásának valószínűségével t \, \! idővel.

Mivel ez a függvény egy bizonyos időre meghatározza a meghibásodás valószínűségét, ezt figyelembe vehetjük megbízhatatlansági függvény. Ha ezt a valószínűséget kivonjuk 1-ből, megkapjuk a megbízhatósági függvényt, amely az életadatok elemzésének egyik legfontosabb funkciója. A megbízhatósági függvény megadja annak valószínűségét, hogy egy egység adott időtartamú küldetést vállal-e. Ezt a következő ábra szemlélteti.

Q (t) = F (t) = \ int_ {0} ^ {t} f (s) ds \, \!

A megbízhatóság és a megbízhatatlanság az egyetlen két esemény, amelyet figyelembe vesznek, és kizárják egymást; ennélfogva ezen valószínűségek összege egyenlő az egységgel.

Ezután:

\ begin {align} Q (t) + R (t) = & 1 \\ R (t) = & 1-Q (t) \\ R (t) = & 1- \ int_ {0} ^ {t} f (ek) ds \\ R (t) = & \ int_ {t} ^ {\ infty} f (s) ds \ end {igazítás} \, \!

Fordítva:

f (t) = – \ frac {d (R (t))} {dt} \, \!

Feltételes megbízhatóság funkció

A feltételes megbízhatóság annak valószínűsége, hogy egy másik küldetést sikeresen teljesít egy előző küldetés sikeres befejezése után. A feltételes megbízhatósági számításoknál figyelembe kell venni az előző küldetés és a végrehajtandó idő időpontját. A feltételes megbízhatósági függvényt a következő adja:

R (t | T) = \ frac {R (T + t)} {R (T)} \ \, \!

Hibaarány-függvény

A meghibásodási arány-funkció lehetővé teszi az időegységenként előforduló hibák számának meghatározását. A levezetés nélkül a meghibásodási arány matematikailag a következő:

\ lambda (t) = \ frac {f (t)} {R (t)} \ \, \!

Ez megadja a pillanatnyi meghibásodási arányt, más néven veszélyességi funkciót. Hasznos egy alkatrész meghibásodási viselkedésének jellemzésében, a karbantartó személyzet kiosztásának meghatározásában, a pótalkatrészek kiépítésének tervezésében stb. A meghibásodási arányt egységnyi időre eső meghibásodásként jelöljük.

Az átlagos élettartam-függvényt, amely a meghibásodás átlagos működésének idejét méri, adja meg:

\ overline {T} = m = \ int_ {0} ^ {\ infty} t \ cdot f (t) dt \, \!

Ez a meghibásodás várható vagy átlagos ideje, és MTTF (Mean Time to Failure) néven jelölik.

Az MTTF, annak ellenére, hogy a megbízhatósági teljesítmény indexe, a legtöbb élettartamú disztribúció esetén nem ad információt a kérdéses összetevő megoszlásáról. Mivel a nagyon különböző eloszlások azonos eszközökkel bírhatnak, nem ésszerű az MTTF-et használni az összetevő megbízhatóságának egyetlen mércéjeként.

Medián élet

\ int _ {- \ infty} ^ {{ \ breve {T}}} f (t) dt = 0,5 \ \, \!

Modális élet (vagy mód)

A modális élet (vagy mód), \ tilde {T} \, \ !, a T \, \ értéke! ami kielégíti:

\ frac {d \ left} {dt} = 0 \ \, \!

Folyamatos elosztás esetén a mód a t \, \ értéke! ami megfelel a maximális valószínűségi sűrűségnek (annak az értéknek, amelynél a pdf maximális értéke van, vagy a görbe csúcsának).

Élettartamú eloszlások

A statisztikai eloszlást a annak pdf. Az előző szakaszokban a pdf definícióját használtuk annak bemutatására, hogy az összes többi, a megbízhatósági tervezésben és az életadatok elemzésében leggyakrabban használt funkció hogyan vezethető le. A megbízhatósági függvény, a meghibásodás-függvény, az átlagos idő-függvény és a medián életfüggvény meghatározható közvetlenül a pdf definícióból, vagy f (t) \, \ !. Különböző eloszlások léteznek, például a normál (Gauss-féle), az exponenciális, a Weibull stb., És mindegyiknek előre definiált f (t) \, \ formája van! hogy számos hivatkozásban megtalálható. Valójában vannak olyan referenciák, amelyeket kizárólag a statisztikai eloszlások különféle típusaira fordítanak. Ezeket az eloszlásokat statisztikusok, matematikusok és mérnökök fogalmazták meg bizonyos viselkedés matematikai modellezésére vagy ábrázolására. Például a Weibull eloszlást Waloddi Weibull fogalmazta meg, és így viseli a nevét. Egyes disztribúciók általában jobban reprezentálják az életadatokat, és leggyakrabban “élettartam-disztribúcióknak” hívják őket.

A témakör részletesebb bemutatását az Élet-disztribúciók ismerteti.

Vélemény, hozzászólás?

Az email címet nem tesszük közzé. A kötelező mezőket * karakterrel jelöltük