6.3: A forradalom kötetei: A héj módszer

Gyakran egy adott probléma többféleképpen is megoldható. Egy adott módszer kényelem, személyes preferencia vagy esetleg szükség szerint választható. Végül jó, hogy vannak lehetőségek.

Az előző szakasz bemutatta a Lemez és alátét módszereket, amelyek a szilárd anyag keresztmetszetének integrálásával kiszámították a forradalom szilárd anyagának mennyiségét. Ez a szakasz a kötet kiszámításának egy másik módszerét, a Shell-módszert dolgozza ki. Ahelyett, hogy a forgástengelyre merőleges metszetet metszenénk keresztmetszetek létrehozására, most a forgástengellyel párhuzamosan szeleteljük, ezzel létrehozva a “héjakat”.

Figyeljük meg a \ , ahol az (a) pontban látható régió az (b) ábrán bemutatott szilárdtestet alkotó \ (y \) tengely körül forog. A régió egy kis szeletét a forgástengellyel párhuzamosan rajzoljuk az (a) pontban. A régió elforgatásakor ez a vékony szelet hengeres héjat képez, amint az ábra (c) részében látható. Az előző szakasz közelít egy szilárd anyaghoz, sok vékony tárcsával (vagy alátéttel); most egy vékony hengeres héjú szilárdtestet közelítünk meg.

ábra \ (\ PageIndex {1} \): A Shell módszer bemutatása.

ábra \ (\ PageIndex { 1} \) (d): Ennek az ábrának a CalcPlot3D használatával létrehozott dinamikus változata.

Ha a szilárd anyagot \ (n \) hengeres héjakra bontjuk, hozzávetőlegesen meg tudjuk közelíteni a szilárd anyag térfogatát. mint

$$ V = \ sum_ {i = 1} ^ n 2 \ pi r_ih_i \ dx_i, $$

ahol \ (r_i \), \ (h_i \) és \ (dx_i \) a \ (i \, ^ \ text {th} \) héj sugara, magassága és vastagsága.

Ez egy Riemann-összeg. Ha korlátot veszünk, amikor a héjak vastagsága megközelíti a 0-t, egy meghatározott integrálhoz vezetünk.

ábra \ (\ PageIndex {2 } \): Egy vékony hengeres héj térfogatának meghatározása.} \ Label {ábra: soupcan}

Különleges esetek:

  1. Amikor a régió \ (R \) fentebb \ (y = f (x) \), alul \ (y = g (x) \) határolja, majd \ (h (x) = f (x) -g (x) \).
  2. Amikor a forgástengely az \ (y \) – tengely (azaz \ (x = 0 \)), akkor \ (r (x) = x \).

Gyakoroljunk a Shell módszer használatával.

A Shell módszerrel semmi különöset nem kell figyelembe venni annak a szilárd anyagnak a térfogatának kiszámításához, amelynek közepén lyuk van, amint ezt a következő bemutatjuk.

Amikor egy régiót vízszintes tengely körül forgatunk, a sugár és a magasság függvényeit \ (y \), nem pedig \ (x \) szempontjából kell figyelembe vennünk.

A ebben a szakaszban kijelentették, hogy “jó, ha van lehetőség.” Az od elég nehézkes lenne.

Ezt a szakaszt egy táblázattal zárjuk, amely összefoglalja a Mosó és a Héj módszer használatát.

Az előző szakaszhoz hasonlóan ennek a szakasznak a valódi célja bizonyos szilárd anyagok térfogatának kiszámítása. Inkább az, hogy képes legyen megoldani egy problémát azáltal, hogy először közelít, majd korlátok segítségével finomítja a közelítést, hogy megadja a pontos értéket. Ebben a szakaszban egy szilárd anyag térfogatát úgy közelítjük meg, hogy vékony hengeres héjakba vágjuk. Az egyes héjak térfogatának összegzésével megkapjuk a térfogat közelítését. Ha korlátot veszünk, mivel az egyforma távolságban lévő héjak száma a végtelenbe megy, összegzésünk meghatározott integrálként értékelhető, megadva a pontos értéket.

Ugyanezt az elvet használjuk ismét a következő szakaszban, ahol keresse meg a görbék hosszát a síkban.

Vélemény, hozzászólás?

Az email címet nem tesszük közzé. A kötelező mezőket * karakterrel jelöltük