Contexte statistique de base

Chapitre 2: Contexte statistique de base


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Chapitre 2

Contexte statistique de base

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Cette section fournit une brève introduction élémentaire aux équations et définitions statistiques les plus courantes et fondamentales utilisées dans l’ingénierie de la fiabilité et l’analyse des données de vie.

Variables aléatoires

En général, la plupart des problèmes d’ingénierie de la fiabilité concernent des mesures quantitatives, telles que le temps de défaillance d’un composant, ou des mesures qualitatives, comme si un composant est défectueux ou non défectueux. On peut alors utiliser une variable aléatoire X \, \! pour désigner ces mesures possibles.

En jugeant qu’un composant est défectueux ou non défectueux, seuls deux résultats sont possibles. Autrement dit, X \, \! est une variable aléatoire qui peut prendre une des deux valeurs seulement (disons défectueuse = 0 et non défectueuse = 1). Dans ce cas, la variable est dite être une variable aléatoire discrète.

La fonction de densité de probabilité et la fonction de distribution cumulative

La fonction de densité de probabilité (pdf) et la fonction de distribution cumulative (cdf) sont deux des fonctions statistiques les plus importantes de la fiabilité et sont très étroitement liées. Lorsque ces fonctions sont connues, presque toutes les autres mesures de fiabilité intéressantes peuvent être dérivées ou obtenues. Nous allons maintenant examiner de plus près ces fonctions et leur relation avec d’autres mesures de fiabilité, telles que la fonction de fiabilité et le taux de défaillance.

À partir des probabilités et des statistiques, étant donné une variable aléatoire continue X, \, \! On note:

  • La fonction de densité de probabilité, pdf, comme f (x) \, \ !.
  • La fonction de distribution cumulative, cdf, comme F (x) \, \ !.

Les pdf et cdf donnent une description complète de la distribution de probabilité d’une variable aléatoire. La figure suivante illustre un pdf.

Les figures suivantes illustrent la relation pdf – cdf.

P (a \ le X \ le b) = \ int_ {a} ^ {b} f (x) dx \ \, \!

Le cdf est une fonction, F (x) \, \ !, d’une variable aléatoire X \, \ !, et est défini pour un nombre x \, \! par:

F (x) = P (X \ le x) = \ int_ {0} ^ {x} f (s) ds \ \, \!

Relation mathématique: pdf et cdf

La relation mathématique entre le pdf et le cdf est donnée par:

F (x) = \ int_ {0} ^ {x} f (s) ds \, \!

où s \, \! est une variable d’intégration fictive.

Inversement:

f (x) = \ frac {d (F (x))} {dx} \, \!

Le cdf est l’aire sous la fonction de densité de probabilité jusqu’à une valeur de x \, \ !. La surface totale sous le pdf est toujours égale à 1, ou mathématiquement:

\ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} f (x) dx = 1 \, \!

La distribution normale (ou gaussienne) bien connue est un exemple de fonction de densité de probabilité. Le pdf de cette distribution est donné par:

f (t) = \ frac {1} {\ sigma \ sqrt {2 \ pi}} {{e} ^ {- \ tfrac {1} {2} { {\ gauche (\ tfrac {t- \ mu} {\ sigma} \ droite)} ^ {2}}}} \, \!

Une autre est la distribution lognormale, dont le pdf est donné par:

f (t) = \ frac {1} {t \ cdot {{\ sigma} ^ {\ prime}} \ sqrt {2 \ pi }} {{e} ^ {- \ tfrac {1} {2} {{\ gauche (\ tfrac {{{t} ^ {\ prime}} – {{\ mu} ^ {\ prime}}} {{ {\ sigma} ^ {\ prime}}} \ right)} ^ {2}}}} \, \!

Fonction de fiabilité

F (t) = \ int_ {0} ^ {t} f (s) ds \ \, \!

Ou, on pourrait assimiler cet événement à la probabilité de défaillance d’une unité au temps t \, \ !.

Puisque cette fonction définit la probabilité de défaillance à un certain temps, nous pourrions considérer cela comme fonction de manque de fiabilité. En soustrayant cette probabilité de 1, nous obtenons la fonction de fiabilité, l’une des fonctions les plus importantes de l’analyse des données sur la vie. La fonction de fiabilité donne la probabilité de succès d’une unité entreprenant une mission d’une durée donnée, comme l’illustre la figure suivante.

Q (t) = F (t) = \ int_ {0} ^ {t} f (s) ds \, \!

La fiabilité et le manque de fiabilité sont les deux seuls événements pris en compte et ils s’excluent mutuellement; par conséquent, la somme de ces probabilités est égale à l’unité.

Ensuite:

\ begin {align} Q (t) + R (t) = & 1 \\ R (t) = & 1-Q (t) \\ R (t) = & 1- \ int_ {0} ^ {t} f (s) ds \\ R (t) = & \ int_ {t} ^ {\ infty} f (s) ds \ end {align} \, \!

Inversement:

f (t) = – \ frac {d (R (t))} {dt} \, \!

Fonction de fiabilité conditionnelle

La fiabilité conditionnelle est la probabilité de terminer avec succès une autre mission après la réussite d’une mission précédente. L’heure de la mission précédente et celle de la mission à entreprendre doivent être prises en compte pour les calculs de fiabilité conditionnelle. La fonction de fiabilité conditionnelle est donnée par:

R (t | T) = \ frac {R (T + t)} {R (T)} \ \, \!

Fonction de taux de défaillance

La fonction de taux de défaillance permet de déterminer le nombre de défaillances survenant par unité de temps. En omettant la dérivation, le taux d’échec est donné mathématiquement comme suit:

\ lambda (t) = \ frac {f (t)} {R (t)} \ \, \!

Ceci donne le taux de défaillance instantané, également connu sous le nom de fonction de danger. Il est utile pour caractériser le comportement de défaillance d’un composant, déterminer l’affectation de l’équipe de maintenance, planifier l’approvisionnement des pièces de rechange, etc.

La fonction de durée de vie moyenne, qui fournit une mesure du temps moyen de fonctionnement jusqu’à l’échec, est donnée par:

\ overline {T} = m = \ int_ {0} ^ {\ infty} t \ cdot f (t) dt \, \!

Il s’agit du temps de défaillance attendu ou moyen et est désigné par MTTF (Mean Time To Failure).

Le MTTF, même s’il s’agit d’un indice de performance de fiabilité, ne donne aucune information sur la distribution des défaillances du composant en question lorsqu’il s’agit de la plupart des distributions de durée de vie. Étant donné que des distributions très différentes peuvent avoir des moyennes identiques, il n’est pas judicieux d’utiliser le MTTF comme seule mesure de la fiabilité d’un composant.

Vie médiane

\ int _ {- \ infty} ^ {{ \ breve {T}}} f (t) dt = 0,5 \ \, \!

Vie modale (ou mode)

La vie modale (ou mode), \ tilde {T} \, \ !, est la valeur de T \, \! cela satisfait:

\ frac {d \ left} {dt} = 0 \ \, \!

Pour une distribution continue, le mode est cette valeur de t \, \! qui correspond à la densité de probabilité maximale (la valeur à laquelle le pdf a sa valeur maximale, ou le pic de la courbe).

Distributions à vie

Une distribution statistique est entièrement décrite par son pdf. Dans les sections précédentes, nous avons utilisé la définition du pdf pour montrer comment toutes les autres fonctions les plus couramment utilisées dans l’ingénierie de la fiabilité et l’analyse des données de vie peuvent être dérivées. La fonction de fiabilité, la fonction de taux de défaillance, la fonction de temps moyen et la fonction de durée de vie médiane peuvent être déterminées directement à partir de la définition pdf, ou f (t) \, \ !. Différentes distributions existent, telles que la normale (gaussienne), exponentielle, Weibull, etc., et chacune a une forme prédéfinie de f (t) \, \! que l’on retrouve dans de nombreuses références. En fait, certaines références sont consacrées exclusivement à différents types de distributions statistiques. Ces distributions ont été formulées par des statisticiens, des mathématiciens et des ingénieurs pour modéliser ou représenter mathématiquement certains comportements. Par exemple, la distribution Weibull a été formulée par Waloddi Weibull et porte donc son nom. Certaines distributions ont tendance à mieux représenter les données sur la vie et sont le plus souvent appelées «distributions à vie».

Une introduction plus détaillée à ce sujet est présentée dans Distributions de la vie.

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