Perustilastotiedot

Luku 2: Tilastojen perustiedot


Hakemisto

Luku 2

Tilastojen perustiedot

Käytettävissä olevat ohjelmistot:
Weibull ++

Lisää resursseja:
Weibull ++ Esimerkkikokoelma

Lataa viitekirja:
Elämän tietojen analyysi (* .pdf)

Luo viitekirja:
Tiedosto voi olla ajan tasalla

Tässä osassa on lyhyt perustiedot yleisimmistä ja perustavanlaatuisimmista tilastoyhtälöistä ja määritelmistä, joita käytetään luotettavuustekniikassa ja elintietojen analysoinnissa.

Satunnaismuuttujat

Yleensä suurin osa luotettavuustekniikan ongelmista liittyy kvantitatiivisiin mittareihin, kuten komponentin epäonnistumiseen kuluva aika, tai laadullisiin mittareihin, kuten onko komponentti viallinen tai ei-viallinen. Voimme sitten käyttää satunnaismuuttujaa X \, \! tarkoittaa näitä mahdollisia toimenpiteitä.

Kun arvioidaan komponentin olevan viallinen tai ei-viallinen, vain kaksi lopputulosta on mahdollista. Eli X \, \! on satunnaismuuttuja, joka voi saada yhden vain kahdesta arvosta (sanotaan viallinen = 0 ja ei-viallinen = 1). Tässä tapauksessa muuttujan sanotaan olevan erillinen satunnaismuuttuja.

Todennäköisyystiheysfunktio ja kumulatiivinen jakautumistoiminto

Todennäköisyystiheysfunktio (pdf) ja kumulatiivisen jakauman funktio (cdf) ovat kaksi luotettavuuden tärkeimmistä tilastofunktioista ja liittyvät hyvin läheisesti toisiinsa. tunnetaan, melkein kaikki muut kiinnostavat luotettavuusmittaukset voidaan johtaa tai saada. Tarkastelemme nyt tarkemmin näitä toimintoja ja miten ne liittyvät muihin luotettavuustoimiin, kuten luotettavuusfunktioon ja epäonnistumisasteeseen.

Todennäköisyydestä ja tilastoista, kun otetaan huomioon jatkuva satunnaismuuttuja X, \, \!, Merkitään:

  • Todennäköisyystiheysfunktio, pdf, muodossa f (x) \, \ !.
  • Kumulatiivinen jakelutoiminto, cdf, muodossa F (x) \, \ !.

PDF ja cdf kuvaavat täydellisesti satunnaismuuttujan todennäköisyysjakauma. Seuraava kuva kuvaa pdf-tiedostoa.

Seuraavat kuvat kuvaavat pdf-cdf-suhdetta.

P (a \ le X \ le b) = \ int_ {a} ^ {b} f (x) dx \ \, \!

Cdf on satunnaismuuttujan X \, \ !, funktio F (x) \, \ !, ja se on määritelty luvulle x \, \! kirjoittanut:

F (x) = P (X \ le x) = \ int_ {0} ^ {x} f (s) ds \ \, \!

Matemaattinen suhde: pdf ja cdf

Matemaattinen suhde pdf: n ja cdf: n välille saadaan:

F (x) = \ int_ {0} ^ {x} f (s) ds \, \!

missä s \, \! on nuken integraatiomuuttuja.

Käänteisesti:

f (x) = \ frac {d (F (x))} {dx} \, \!

Cdf on todennäköisyystiheysfunktion alla oleva alue arvoon x \, \! asti. PDF-tiedoston alla oleva kokonaispinta-ala on aina yhtä suuri tai matemaattisesti:

\ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} f (x) dx = 1 \, \!

Tunnettu normaali (tai Gaussin) jakauma on esimerkki todennäköisyystiheysfunktiosta. Tämän jakelun pdf-tiedosto on annettu:

f (t) = \ frac {1} {\ sigma \ sqrt {2 \ pi}} {{e} ^ {- \ tfrac {1} {2} { {\ vasen (\ tfrac {t- \ mu} {\ sigma} \ oikea)} ^ {2}}}} \, \!

Toinen on lognormaali jakauma, jonka pdf-tiedoston antaa:

f (t) = \ frac {1} {t \ cdot {{\ sigma} ^ {\ prime}} \ sqrt {2 \ pi }} {{e} ^ {- \ tfrac {1} {2} {{\ left (\ tfrac {{{t} ^ {\ prime}} – {{\ mu} ^ {\ prime}}} {{ {\ sigma} ^ {\ prime}}} \ oikea)} ^ {2}}}} \, \!

Luotettavuusfunktio

F (t) = \ int_ {0} ^ {t} f (s) ds \ \, \!

Tai voidaan verrata tätä tapahtumaa yksikön epäonnistumisen todennäköisyyteen ajan t \, \! avulla.

Koska tämä toiminto määrittelee epäonnistumisen todennäköisyyden tietyn ajan kuluessa, voimme pitää tätä epäluotettavuusfunktio. Tämän todennäköisyyden vähentäminen arvosta 1 antaa meille luotettavuusfunktion, joka on yksi tärkeimmistä funktioista elintietojen analysoinnissa. Luotettavuusfunktio antaa todennäköisyyden yksikölle, joka suorittaa tietyn ajan kestävän tehtävän. Seuraava kuva kuvaa tätä.

Q (t) = F (t) = \ int_ {0} ^ {t} f (s) ds \, \!

Luotettavuus ja epäluotettavuus ovat ainoat huomioon otettavat tapahtumat ja ne sulkevat pois toisensa. siten näiden todennäköisyyksien summa on yhtä suuri kuin yhtenäisyys.

Sitten:

\ aloita {tasaus} Q (t) + R (t) = & 1 \\ R (t) = & 1-Q (t) \\ R (t) = & 1- \ int_ {0} ^ {t} f (s) ds \\ R (t) = & \ int_ {t} ^ {\ infty} f (s) ds \ end {tasaa} \, \!

Päinvastoin:

f (t) = – \ frac {d (R (t))} {dt} \, \!

Ehdollinen luotettavuus

Ehdollinen luotettavuus on todennäköisyys suorittaa toinen tehtävä onnistuneesti edellisen tehtävän onnistuneen suorittamisen jälkeen. Ehdollisen luotettavuuden laskennassa on otettava huomioon edellisen tehtävän aika ja tehtävän suorittamisen aika. Ehdollisen luotettavuusfunktion antaa:

R (t | T) = \ frac {R (T + t)} {R (T)} \ \, \!

Vikataajuustoiminto

Vikataajuustoiminto mahdollistaa ajanyksikköön liittyvien vikojen määrän määrittämisen. Johdannasta poiketen vikaprosentti annetaan matemaattisesti seuraavasti:

\ lambda (t) = \ frac {f (t)} {R (t)} \ \, \!

Tämä antaa hetkellisen vikaantumisasteen, joka tunnetaan myös nimellä vaaratoiminto. Se on hyödyllinen ominaisuudessa kuvaamaan komponentin vikakäyttäytymistä, määrittämään huoltomiehistön kohdentaminen, varaosien valmistelun suunnittelu jne. Vikaantumisaste ilmaistaan vikaantumina aikayksikköä kohti.

Keskimääräinen elintoiminto, joka mittaa keskimääräisen toiminta-ajan vikaantumiseen, saadaan:

\ overline {T} = m = \ int_ {0} ^ {\ infty} t \ cdot f (t) dt \, \!

Tämä on odotettu tai keskimääräinen epäonnistumiseen kuluva aika, ja sitä kutsutaan nimellä MTTF (Mean Time To Failure).

Vaikka luotettavuusindeksi ei olekaan MTTF, se ei anna mitään tietoa kyseisen komponentin vikajakelusta käsitellessään suurinta osaa elinkaarijakaumista. Koska suuresti erilaisilla jakaumilla voi olla identtinen keskiarvo, ei ole viisasta käyttää MTTF: ää komponentin luotettavuuden ainoana mittana.

Mediaani-elämä

\ int _ {- \ infty} ^ {{ \ breve {T}}} f (t) dt = 0,5 \ \, \!

Modaalinen käyttöikä (tai tila)

Modaalinen käyttöikä (tai tila), \ tilde {T} \, \ !, on arvon T \, \! joka tyydyttää:

\ frac {d \ left} {dt} = 0 \ \, \!

Jatkuvan jakelun tilassa tila on t \, \! joka vastaa suurinta todennäköisyystiheyttä (arvo, jolla pdf: llä on suurin arvo, tai käyrän huippu).

Elinkaarijakaumat

Tilastollinen jakauma on kuvattu kokonaan sen pdf. Edellisissä osioissa käytimme pdf: n määritelmää osoittamaan, kuinka kaikki muut luotettavuuden suunnittelussa ja elämäntietojen analyysissä yleisimmin käytetyt toiminnot voidaan johtaa. Luotettavuusfunktio, vikaantumisfunktio, keskiaikatoiminto ja mediaani-elintoiminto voidaan määrittää suoraan pdf-määritelmästä tai f (t) \, \ !. Eri jakaumia on, kuten normaali (Gaussin), eksponentiaalinen, Weibull jne., Ja jokaisella on ennalta määrätty muoto f (t) \, \! joka löytyy monista viitteistä. Itse asiassa on olemassa tiettyjä viitteitä, jotka on omistettu yksinomaan erityyppisille tilastojakaumille. Tilastotieteilijät, matemaatikot ja insinöörit muotoilivat nämä jakaumat matemaattisesti mallinnamaan tai edustamaan tiettyä käyttäytymistä. Esimerkiksi Weibull-jakauman muotoili Waloddi Weibull ja siten se kantaa hänen nimeään. Jotkut jakaumat edustavat yleensä elintietoja paremmin ja niitä kutsutaan yleisimmin ”elinikäisiksi jakeluiksi”.

Yksityiskohtaisempi johdanto tähän aiheeseen on kohdassa Elämän jakaumat.

Vastaa

Sähköpostiosoitettasi ei julkaista. Pakolliset kentät on merkitty *