Antecedentes estadísticos básicos

Capítulo 2: Antecedentes estadísticos básicos


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Capítulo 2

Antecedentes estadísticos básicos

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Esta sección proporciona una breve introducción elemental a las ecuaciones y definiciones estadísticas más comunes y fundamentales que se utilizan en la ingeniería de confiabilidad y el análisis de datos de vida.

Variables aleatorias

En general, la mayoría de los problemas en la ingeniería de confiabilidad tienen que ver con medidas cuantitativas, como el tiempo de falla de un componente, o medidas cualitativas, como si un componente es defectuoso o no defectuoso. ¡Entonces podemos usar una variable aleatoria X \, \! para denotar estas posibles medidas.

Al juzgar que un componente es defectuoso o no defectuoso, solo son posibles dos resultados. Es decir, X \, \! es una variable aleatoria que puede tomar uno de solo dos valores (digamos defectuoso = 0 y no defectuoso = 1). En este caso, se dice que la variable es una variable aleatoria discreta.

La función de densidad de probabilidad y la función de distribución acumulativa

La función de densidad de probabilidad (pdf) y la función de distribución acumulativa (cdf) son dos de las funciones estadísticas más importantes en confiabilidad y están muy relacionadas. Cuando estas funciones se conocen, se puede derivar u obtener casi cualquier otra medida de confiabilidad de interés. Ahora veremos más de cerca estas funciones y cómo se relacionan con otras medidas de confiabilidad, como la función de confiabilidad y la tasa de falla.

A partir de probabilidad y estadística, dada una variable aleatoria continua X, \, \! Denotamos:

  • La función de densidad de probabilidad, pdf, como f (x) \, \ !.
  • La función de distribución acumulativa, cdf, como F (x) \, \ !.

El pdf y el cdf dan una descripción completa de la distribución de probabilidad de una variable aleatoria. La siguiente figura ilustra un pdf.

Las siguientes figuras ilustran la relación pdf – cdf.

P (a \ le X \ le b) = \ int_ {a} ^ {b} f (x) dx \ \, \!

El CDF es una función, F (x) \, \ !, de una variable aleatoria X \, \ !, y se define para un número x \, \! por:

F (x) = P (X \ le x) = \ int_ {0} ^ {x} f (s) ds \ \, \!

Relación matemática: pdf y cdf

La relación matemática entre el pdf y el cdf está dada por:

F (x) = \ int_ {0} ^ {x} f (s) ds \, \!

donde s \, \! es una variable de integración ficticia.

A la inversa:

f (x) = \ frac {d (F (x))} {dx} \, \!

El CDF es el área bajo la función de densidad de probabilidad hasta un valor de x \, \ !. El área total debajo del pdf es siempre igual a 1, o matemáticamente:

\ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} f (x) dx = 1 \, \!

La conocida distribución normal (o gaussiana) es un ejemplo de función de densidad de probabilidad. El pdf para esta distribución viene dado por:

f (t) = \ frac {1} {\ sigma \ sqrt {2 \ pi}} {{e} ^ {- \ tfrac {1} {2} { {\ left (\ tfrac {t- \ mu} {\ sigma} \ right)} ^ {2}}}} \, \!

Otra es la distribución logarítmica normal, cuyo pdf viene dado por:

f (t) = \ frac {1} {t \ cdot {{\ sigma} ^ {\ prime}} \ sqrt {2 \ pi }} {{e} ^ {- \ tfrac {1} {2} {{\ left (\ tfrac {{{t} ^ {\ prime}} – {{\ mu} ^ {\ prime}}} {{ {\ sigma} ^ {\ prime}}} \ right)} ^ {2}}}} \, \!

Función de confiabilidad

F (t) = \ int_ {0} ^ {t} f (s) ds \ \, \!

O bien, se podría equiparar este evento a la probabilidad de que una unidad falle en el tiempo t \, \!.

Dado que esta función define la probabilidad de falla en un cierto tiempo, podríamos considerar esto como el función de falta de fiabilidad. Restar esta probabilidad de 1 nos dará la función de confiabilidad, una de las funciones más importantes en el análisis de datos de vida. La función de confiabilidad da la probabilidad de éxito de una unidad que realiza una misión de una duración determinada. La siguiente figura ilustra esto.

Q (t) = F (t) = \ int_ {0} ^ {t} f (s) ds \, \!

La confiabilidad y la falta de confiabilidad son los únicos dos eventos que se están considerando y son mutuamente excluyentes; por tanto, la suma de estas probabilidades es igual a la unidad.

Entonces:

\ begin {align} Q (t) + R (t) = & 1 \\ R (t) = & 1-Q (t) \\ R (t) = & 1- \ int_ {0} ^ {t} f (s) ds \\ R (t) = & \ int_ {t} ^ {\ infty} f (s) ds \ end {align} \, \!

A la inversa:

f (t) = – \ frac {d (R (t))} {dt} \, \!

Función de confiabilidad condicional

La confiabilidad condicional es la probabilidad de completar con éxito otra misión después de completar con éxito una misión anterior. El tiempo de la misión anterior y el tiempo de realización de la misión deben tenerse en cuenta para los cálculos de fiabilidad condicional. La función de confiabilidad condicional viene dada por:

R (t | T) = \ frac {R (T + t)} {R (T)} \ \, \!

Función de tasa de fallas

La función de tasa de fallas permite determinar el número de fallas que ocurren por unidad de tiempo. Omitiendo la derivación, la tasa de falla se da matemáticamente como:

\ lambda (t) = \ frac {f (t)} {R (t)} \ \, \!

Esto da la tasa de falla instantánea, también conocida como función de peligro. Es útil para caracterizar el comportamiento de falla de un componente, determinar la asignación del personal de mantenimiento, planificar el aprovisionamiento de repuestos, etc. La tasa de falla se indica como fallas por unidad de tiempo.

Vida media (MTTF)

La función de vida media, que proporciona una medida del tiempo medio de funcionamiento hasta el fallo, viene dada por:

\ overline {T} = m = \ int_ {0} ^ {\ infty} t \ cdot f (t) dt \, \!

Este es el tiempo esperado o promedio de falla y se indica como MTTF (tiempo medio de falla).

El MTTF, aunque es un índice de rendimiento de confiabilidad, no brinda ninguna información sobre la distribución de fallas del componente en cuestión cuando se trata de la mayoría de las distribuciones de por vida. Debido a que distribuciones muy diferentes pueden tener medios idénticos, no es aconsejable usar el MTTF como la única medida de la confiabilidad de un componente.

Vida media

\ int _ {- \ infty} ^ {{ \ breve {T}}} f (t) dt = 0.5 \ \, \!

Vida modal (o modo)

La vida modal (o modo), \ tilde {T} \, \ !, es el valor de T \, \! que satisface:

\ frac {d \ left} {dt} = 0 \ \, \!

Para una distribución continua, la moda es ese valor de t \, \! que corresponde a la densidad de probabilidad máxima (el valor en el que el pdf tiene su valor máximo, o el pico de la curva).

Distribuciones de por vida

Una distribución estadística está completamente descrita por su pdf. En las secciones anteriores, usamos la definición del pdf para mostrar cómo se pueden derivar todas las demás funciones más comúnmente utilizadas en ingeniería de confiabilidad y análisis de datos de vida. La función de confiabilidad, la función de tasa de falla, la función de tiempo medio y la función de vida media se pueden determinar directamente a partir de la definición de pdf, o f (t) \, \ !. Existen diferentes distribuciones, como la normal (gaussiana), exponencial, Weibull, etc., y cada una tiene una forma predefinida de f (t) \, \! que se puede encontrar en muchas referencias. De hecho, existen ciertas referencias que se dedican exclusivamente a diferentes tipos de distribuciones estadísticas. Estas distribuciones fueron formuladas por estadísticos, matemáticos e ingenieros para modelar matemáticamente o representar cierto comportamiento. Por ejemplo, la distribución de Weibull fue formulada por Waloddi Weibull y, por lo tanto, lleva su nombre. Algunas distribuciones tienden a representar mejor los datos de vida y se denominan más comúnmente «distribuciones de vida».

En Distribuciones de vida se presenta una introducción más detallada a este tema.

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