6.3: Volúmenes de revolución: el método Shell

A menudo, un problema dado se puede resolver de más de una forma. Se puede elegir un método particular por conveniencia, preferencia personal o tal vez por necesidad. En última instancia, es bueno tener opciones.

La sección anterior introdujo los métodos de disco y arandela, que calculan el volumen de sólidos de revolución integrando el área de la sección transversal del sólido. Esta sección desarrolla otro método para calcular el volumen, el Método Shell. En lugar de cortar el sólido perpendicular al eje de rotación creando secciones transversales, ahora lo cortamos paralelo al eje de rotación, creando «conchas».

Considere la Figura \ (\ PageIndex {1} \) , donde la región que se muestra en (a) gira alrededor del eje \ (y \) – que forma el sólido que se muestra en (b). Se dibuja una pequeña porción de la región en (a), paralela al eje de rotación. Cuando se gira la región, esta delgada rebanada forma un caparazón cilíndrico, como se muestra en la parte (c) de la figura. La sección anterior se aproxima a un sólido con muchos discos delgados (o arandelas); ahora aproximamos un sólido con muchas capas cilíndricas delgadas.

Figura \ (\ PageIndex {1} \): Presentación del método Shell.

Figura \ (\ PageIndex { 1} \) (d): una versión dinámica de esta figura creada usando CalcPlot3D.

Al dividir el sólido en \ (n \) conchas cilíndricas, podemos aproximar el volumen del sólido como

$$ V = \ sum_ {i = 1} ^ n 2 \ pi r_ih_i \ dx_i, $$

donde \ (r_i \), \ (h_i \) y \ (dx_i \) son el radio, la altura y el grosor del caparazón \ (i \, ^ \ text {th} \), respectivamente.

Esta es una suma de Riemann. Tomar un límite cuando el grosor de las cáscaras se acerca a 0 conduce a una integral definida.

Figura \ (\ PageIndex {2 } \): Determinando el volumen de un caparazón cilíndrico delgado.} \ Label {fig: soupcan}

Casos especiales:

  1. Cuando la región \ (R \) es acotado arriba por \ (y = f (x) \) y abajo por \ (y = g (x) \), entonces \ (h (x) = f (x) -g (x) \).
  2. Cuando el eje de rotación es el eje \ (y \) (es decir, \ (x = 0 \)) entonces \ (r (x) = x \).

Practiquemos el uso del método Shell.

Con el método Shell, no es necesario tener en cuenta nada especial para calcular el volumen de un sólido que tiene un agujero en el medio, como se demuestra a continuación.

Al girar una región alrededor de un eje horizontal, debemos considerar las funciones de radio y altura en términos de \ (y \), no \ (x \).

Al comienzo de En esta sección se dijo que «es bueno tener opciones». El siguiente ejemplo encuentra el volumen de un sólido con bastante facilidad con el Método Shell, pero usando el Washer Meth od sería toda una tarea.

Terminamos esta sección con una tabla que resume el uso de los métodos Washer y Shell.

Como en la sección anterior, el objetivo real de esta sección es no poder calcular volúmenes de ciertos sólidos. Más bien, es poder resolver un problema aproximando primero y luego usando límites para refinar la aproximación y dar el valor exacto. En esta sección, aproximamos el volumen de un sólido cortándolo en capas cilíndricas delgadas. Al sumar los volúmenes de cada capa, obtenemos una aproximación del volumen. Al tomar un límite a medida que el número de conchas igualmente espaciadas llega al infinito, nuestra suma puede evaluarse como una integral definida, dando el valor exacto.

Usamos este mismo principio nuevamente en la siguiente sección, donde encuentra la longitud de las curvas en el plano.

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