Grundlegender statistischer Hintergrund

Kapitel 2: Grundlegender statistischer Hintergrund


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Kapitel 2

Grundlegender statistischer Hintergrund

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Dieser Abschnitt enthält eine kurze grundlegende Einführung in die gängigsten und grundlegendsten statistischen Gleichungen und Definitionen, die in der Zuverlässigkeitstechnik und in der Analyse von Lebensdaten verwendet werden.

Zufällige Variablen

Im Allgemeinen betreffen die meisten Probleme in der Zuverlässigkeitstechnik quantitative Maßnahmen wie die Zeit bis zum Ausfall einer Komponente oder qualitative Maßnahmen, z. B. ob es sich um eine Komponente handelt defekt oder nicht defekt. Wir können dann eine Zufallsvariable X \, \ verwenden! um diese möglichen Maßnahmen zu kennzeichnen.

Bei der Beurteilung einer Komponente als fehlerhaft oder nicht fehlerhaft sind nur zwei Ergebnisse möglich. Das heißt, X \, \! ist eine Zufallsvariable, die einen von nur zwei Werten annehmen kann (sagen wir defekt = 0 und nicht defekt = 1). In diesem Fall wird die Variable als diskrete Zufallsvariable bezeichnet.

Die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion und die kumulative Verteilungsfunktion

Die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (pdf) und die kumulative Verteilungsfunktion (cdf) sind zwei der wichtigsten statistischen Funktionen für die Zuverlässigkeit und hängen sehr eng zusammen bekannt sind, kann fast jedes andere interessierende Zuverlässigkeitsmaß abgeleitet oder erhalten werden. Wir werden uns nun diese Funktionen genauer ansehen und wie sie sich auf andere Zuverlässigkeitsmaße wie die Zuverlässigkeitsfunktion und die Ausfallrate beziehen.

Aus Wahrscheinlichkeit und Statistik bezeichnen wir bei gegebener kontinuierlicher Zufallsvariable X, \, \ !:

  • Die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion pdf als f (x) \, \!.
  • Die kumulative Verteilungsfunktion cdf als F (x) \, \ !.

Das pdf und das cdf enthalten eine vollständige Beschreibung von die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsvariablen. Die folgende Abbildung zeigt ein PDF.

Die nächsten Abbildungen veranschaulichen die Beziehung zwischen pdf und cdf.

P (a \ le X \ le b) = \ int_ {a} ^ {b} f (x) dx \ \, \!

Das cdf ist eine Funktion F (x) \, \!, einer Zufallsvariablen X \, \! und ist für eine Zahl x \, \! definiert. durch:

F (x) = P (X \ le x) = \ int_ {0} ^ {x} f (s) ds \ \, \!

Mathematische Beziehung: pdf und cdf

Die mathematische Beziehung zwischen pdf und cdf ist gegeben durch:

F (x) = \ int_ {0} ^ {x} f (s) ds \, \!

wo s \, \! ist eine Dummy-Integrationsvariable.

Umgekehrt:

f (x) = \ frac {d (F (x))} {dx} \, \!

Das cdf ist die Fläche unter der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion bis zu einem Wert von x \, \!. Die Gesamtfläche unter dem PDF ist immer gleich 1 oder mathematisch:

\ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} f (x) dx = 1 \, \!

Die bekannte Normalverteilung (oder Gaußsche Verteilung) ist ein Beispiel für eine Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion. Das PDF für diese Verteilung ist gegeben durch:

f (t) = \ frac {1} {\ sigma \ sqrt {2 \ pi}} {{e} ^ {- \ tfrac {1} {2} { {\ left (\ tfrac {t- \ mu} {\ sigma} \ right)} ^ {2}}} \, \!

Eine andere ist die logarithmische Normalverteilung, deren PDF gegeben ist durch:

f (t) = \ frac {1} {t \ cdot {{\ sigma} ^ {\ prime}} \ sqrt {2 \ pi }} {{e} ^ {- \ tfrac {1} {2} {{\ left (\ tfrac {{{t} ^ {\ prime}} – {{\ mu} ^ {\ prime}}} {{ {\ sigma} ^ {\ prime}}} \ right)} ^ {2}}} \, \!

Zuverlässigkeitsfunktion

F (t) = \ int_ {0} ^ {t} f (s) ds \ \, \!

Oder man könnte dieses Ereignis mit der Wahrscheinlichkeit eines Ausfalls einer Einheit zum Zeitpunkt t \, \! gleichsetzen.

Da diese Funktion die Ausfallwahrscheinlichkeit zu einem bestimmten Zeitpunkt definiert, können wir dies als das betrachten Unzuverlässigkeitsfunktion. Wenn Sie diese Wahrscheinlichkeit von 1 subtrahieren, erhalten Sie die Zuverlässigkeitsfunktion, eine der wichtigsten Funktionen in der Lebensdatenanalyse. Die Zuverlässigkeitsfunktion gibt die Erfolgswahrscheinlichkeit einer Einheit an, die eine Mission mit einer bestimmten Zeitdauer ausführt. Die folgende Abbildung veranschaulicht dies.

Q (t) = F (t) = \ int_ {0} ^ {t} f (s) ds \, \!

Zuverlässigkeit und Unzuverlässigkeit sind die einzigen beiden Ereignisse, die berücksichtigt werden, und sie schließen sich gegenseitig aus. daher ist die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten gleich Eins.

Dann:

\ begin {align} Q (t) + R (t) = & 1 \\ R (t) = & 1-Q (t) \\ R (t) = & 1- \ int_ {0} ^ {t} f (s) ds \\ R (t) = & \ int_ {t} ^ {\ infty} f (s) ds \ end {align} \, \!

Umgekehrt:

f (t) = – \ frac {d (R (t))} {dt} \, \!

Funktion für bedingte Zuverlässigkeit

Bedingte Zuverlässigkeit ist die Wahrscheinlichkeit, eine andere Mission nach dem erfolgreichen Abschluss einer vorherigen Mission erfolgreich abzuschließen. Der Zeitpunkt der vorherigen Mission und der Zeitpunkt für die Durchführung der Mission müssen bei der Berechnung der bedingten Zuverlässigkeit berücksichtigt werden. Die bedingte Zuverlässigkeitsfunktion ist gegeben durch:

R (t | T) = \ frac {R (T + t)} {R (T)} \ \, \!

Fehlerratenfunktion

Die Fehlerratenfunktion ermöglicht die Bestimmung der Anzahl der pro Zeiteinheit auftretenden Fehler. Ohne die Ableitung wird die Fehlerrate mathematisch wie folgt angegeben:

\ lambda (t) = \ frac {f (t)} {R (t)} \ \, \!

Dies gibt die momentane Ausfallrate an, die auch als Gefahrenfunktion bezeichnet wird. Dies ist nützlich, um das Fehlerverhalten einer Komponente zu charakterisieren, die Zuweisung der Wartungsmannschaft zu bestimmen, die Bereitstellung von Ersatzteilen zu planen usw. Die Fehlerrate wird als Fehler pro Zeiteinheit bezeichnet.

Mittlere Lebensdauer (MTTF)

Die mittlere Lebensdauerfunktion, die ein Maß für die durchschnittliche Betriebszeit bis zum Ausfall liefert, ist gegeben durch:

\ overline {T} = m = \ int_ {0} ^ {\ infty} t \ cdot f (t) dt \, \!

Dies ist die erwartete oder durchschnittliche Zeit bis zum Ausfall und wird als MTTF (Mean Time to Failure) bezeichnet.

Die MTTF gibt, obwohl sie ein Index für die Zuverlässigkeitsleistung ist, keine Informationen zur Fehlerverteilung der betreffenden Komponente, wenn es um die meisten Lebensdauerverteilungen geht. Da sehr unterschiedliche Verteilungen identische Mittel haben können, ist es nicht ratsam, die MTTF als einziges Maß für die Zuverlässigkeit einer Komponente zu verwenden.

Median Life

\ int _ {- \ infty} ^ {{ \ breve {T}}} f (t) dt = 0,5 \ \, \!

Modale Lebensdauer (oder Modus)

Die modale Lebensdauer (oder der Modus), \ tilde {T} \, \!, ist der Wert von T \, \! das erfüllt:

\ frac {d \ left} {dt} = 0 \ \, \!

Für eine kontinuierliche Verteilung ist der Modus der Wert von t \, \! Dies entspricht der maximalen Wahrscheinlichkeitsdichte (dem Wert, bei dem das PDF seinen Maximalwert hat, oder dem Peak der Kurve).

Lebenszeitverteilungen

Eine statistische Verteilung wird vollständig durch beschrieben sein pdf. In den vorherigen Abschnitten haben wir die Definition des PDF verwendet, um zu zeigen, wie alle anderen Funktionen, die in der Zuverlässigkeitstechnik und der Analyse von Lebensdaten am häufigsten verwendet werden, abgeleitet werden können. Die Zuverlässigkeitsfunktion, die Ausfallratenfunktion, die mittlere Zeitfunktion und die mittlere Lebensdauerfunktion können direkt aus der PDF-Definition oder f (t) \, \! Bestimmt werden. Es gibt verschiedene Verteilungen wie Normal (Gauß), Exponential, Weibull usw., und jede hat eine vordefinierte Form von f (t) \, \! das kann in vielen Referenzen gefunden werden. Tatsächlich gibt es bestimmte Referenzen, die sich ausschließlich verschiedenen Arten statistischer Verteilungen widmen. Diese Verteilungen wurden von Statistikern, Mathematikern und Ingenieuren formuliert, um bestimmte Verhaltensweisen mathematisch zu modellieren oder darzustellen. Zum Beispiel wurde die Weibull-Verteilung von Waloddi Weibull formuliert und trägt daher seinen Namen. Einige Verteilungen repräsentieren in der Regel Lebensdaten besser und werden am häufigsten als „Lebensdauerverteilungen“ bezeichnet.

Eine ausführlichere Einführung in dieses Thema finden Sie unter Lebensverteilungen.

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