6.3: Revolutionsvolumina: Die Shell-Methode

Oft kann ein bestimmtes Problem auf mehrere Arten gelöst werden. Eine bestimmte Methode kann aus Bequemlichkeit, persönlichen Vorlieben oder vielleicht aus Gründen der Notwendigkeit ausgewählt werden. Letztendlich ist es gut, Optionen zu haben.

Im vorherigen Abschnitt wurden die Scheiben- und Unterlegscheibenmethoden vorgestellt, mit denen das Volumen der Rotationsfeststoffe durch Integration der Querschnittsfläche des Festkörpers berechnet wurde. In diesem Abschnitt wird eine andere Methode zur Berechnung des Volumens entwickelt, die Shell-Methode. Anstatt den Volumenkörper senkrecht zur Rotationsachse zu schneiden und Querschnitte zu erstellen, schneiden wir ihn jetzt parallel zur Rotationsachse und erstellen so „Schalen“.

Betrachten Sie Abbildung \ (\ PageIndex {1} \). wobei der in (a) gezeigte Bereich um die \ (y \) – Achse gedreht wird, die den in (b) gezeigten Festkörper bildet. Ein kleiner Ausschnitt der Region ist in (a) parallel zur Rotationsachse gezeichnet. Wenn der Bereich gedreht wird, bildet diese dünne Scheibe eine zylindrische Hülle, wie in Teil (c) der Figur dargestellt. Der vorherige Abschnitt näherte sich einem Festkörper mit vielen dünnen Scheiben (oder Unterlegscheiben) an. Wir nähern uns nun einem Körper mit vielen dünnen zylindrischen Schalen.

Abbildung \ (\ PageIndex {1} \): Einführung in die Shell-Methode.

Abbildung \ (\ PageIndex { 1} \) (d): Eine dynamische Version dieser Figur, die mit CalcPlot3D erstellt wurde.

Durch Aufteilen des Festkörpers in \ (n \) zylindrische Schalen können wir das Volumen des Festkörpers approximieren als

$$ V = \ sum_ {i = 1} ^ n 2 \ pi r_ih_i \ dx_i, $$

wobei \ (r_i \), \ (h_i \) und \ (dx_i \) sind der Radius, die Höhe und die Dicke der \ (i \, ^ \ text {th} \) -Schale.

Dies ist eine Riemann-Summe. Eine Grenze zu nehmen, wenn sich die Dicke der Schalen 0 nähert, führt zu einem bestimmten Integral.

Abbildung \ (\ PageIndex {2 } \): Bestimmen des Volumens einer dünnen zylindrischen Schale.} \ Label {fig :oupcan}

Sonderfälle:

  1. Wenn die Region \ (R \) ist oben begrenzt durch \ (y = f (x) \) und unten durch \ (y = g (x) \), dann \ (h (x) = f (x) -g (x) \).
  2. Wenn die Rotationsachse die \ (y \) – Achse ist (dh \ (x = 0 \)), dann \ (r (x) = x \).

Üben wir die Verwendung der Shell-Methode.

Bei der Shell-Methode muss nichts Besonderes berücksichtigt werden, um das Volumen eines Festkörpers mit einem Loch in der Mitte zu berechnen, wie im Folgenden gezeigt wird.

Wenn wir einen Bereich um eine horizontale Achse drehen, müssen wir die Radius- und Höhenfunktionen in Bezug auf \ (y \) und nicht in Bezug auf \ (x \) berücksichtigen.

Zu Beginn von In diesem Abschnitt wurde festgestellt, dass „es gut ist, Optionen zu haben“. Im nächsten Beispiel wird das Volumen eines Feststoffs mit der Shell-Methode ziemlich einfach ermittelt, jedoch mit der Waschmethode Meth od wäre eine ziemliche Aufgabe.

Wir beenden diesen Abschnitt mit einer Tabelle, in der die Verwendung der Wasch- und Schalenmethoden zusammengefasst ist.

Wie im vorherigen Abschnitt ist das eigentliche Ziel dieses Abschnitts ist nicht in der Lage zu sein, Volumina bestimmter Feststoffe zu berechnen. Es geht vielmehr darum, ein Problem lösen zu können, indem man zuerst approximiert und dann Grenzen verwendet, um die Approximation zu verfeinern und den genauen Wert zu erhalten. In diesem Abschnitt approximieren wir das Volumen eines Festkörpers, indem wir ihn in dünne zylindrische Schalen schneiden. Durch Summieren der Volumina jeder Shell erhalten wir eine Annäherung an das Volumen. Indem wir eine Grenze setzen, während die Anzahl der gleich beabstandeten Schalen gegen unendlich geht, kann unsere Summation als ein bestimmtes Integral ausgewertet werden, das den genauen Wert ergibt.

Wir verwenden dasselbe Prinzip im nächsten Abschnitt erneut, in dem wir Finden Sie die Länge der Kurven in der Ebene.

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