Grundlæggende statistisk baggrund

Kapitel 2: Grundlæggende statistisk baggrund


Indeks

Kapitel 2

Grundlæggende statistisk baggrund

Tilgængelig software:
Weibull ++

Flere ressourcer:
Weibull ++ Eksempler Samling

Download referencebog:
Livsdataanalyse (* .pdf)

Generer referencebog:
Filen kan være mere opdateret

Dette afsnit giver en kort elementær introduktion til de mest almindelige og grundlæggende statistiske ligninger og definitioner, der anvendes i pålidelighedsteknik og livsdataanalyse.

Tilfældige variabler

Generelt beskæftiger de fleste problemer inden for pålidelighedsteknologi sig med kvantitative målinger, såsom en komponents tid til fiasko eller kvalitative målinger, f.eks. om en komponent er defekt eller ikke-defekt. Vi kan derefter bruge en tilfældig variabel X \, \! at betegne disse mulige foranstaltninger.

Når man vurderer en komponent som mangelfuld eller ikke-defekt, er kun to resultater mulige. Det vil sige X \, \! er en tilfældig variabel, der kun kan få en af to værdier (lad os sige defekt = 0 og ikke-defekt = 1). I dette tilfælde siges variablen at være en diskret tilfældig variabel.

Sandsynlighedsdensitetsfunktionen og den kumulative fordelingsfunktion

Sandsynlighedsdensitetsfunktionen (pdf) og den kumulative fordelingsfunktion (cdf) er to af de vigtigste statistiske funktioner i pålidelighed og er meget nært beslægtede. Når disse funktioner er kendt, kan næsten ethvert andet pålidelighedsmål af interesse udledes eller opnås. Vi vil nu se nærmere på disse funktioner, og hvordan de relaterer sig til andre pålidelighedsmål, såsom pålidelighedsfunktionen og fejlfrekvensen.

Fra sandsynlighed og statistik, givet en kontinuerlig tilfældig variabel X, \, \! Betegner vi:

  • Sandsynlighedsdensitetsfunktionen, pdf, som f (x) \, \ !.
  • Den kumulative fordelingsfunktion, cdf, som F (x) \, \ !.

PDF og cdf giver en komplet beskrivelse af sandsynlighedsfordelingen af en tilfældig variabel. Følgende figur illustrerer en pdf.

De næste figurer illustrerer pdf – cdf-forholdet.

P (a \ le X \ le b) = \ int_ {a} ^ {b} f (x) dx \ \, \!

Cdf er en funktion, F (x) \, \ !, af en tilfældig variabel X \, \ !, og er defineret for et tal x \, \! af:

F (x) = P (X \ le x) = \ int_ {0} ^ {x} f (s) ds \ \, \!

Matematisk forhold: pdf og cdf

Det matematiske forhold mellem pdf og cdf er givet ved:

F (x) = \ int_ {0} ^ {x} f (s) ds \, \!

hvor s \, \! er en dummy-integrationsvariabel.

Omvendt:

f (x) = \ frac {d (F (x))} {dx} \, \!

Cdf er området under sandsynlighedsdensitetsfunktionen op til en værdi på x \, \ !. Det samlede areal under pdf’en er altid lig med 1 eller matematisk:

\ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} f (x) dx = 1 \, \!

Den velkendte normalfordeling (eller Gaussisk) er et eksempel på en sandsynlighedsdensitetsfunktion. PDF for denne distribution er givet af:

f (t) = \ frac {1} {\ sigma \ sqrt {2 \ pi}} {{e} ^ {- \ tfrac {1} {2} { {\ left (\ tfrac {t- \ mu} {\ sigma} \ right)} ^ {2}}}} \, \!

En anden er den lognormale distribution, hvis pdf er givet af:

f (t) = \ frac {1} {t \ cdot {{\ sigma} ^ {\ prime}} \ sqrt {2 \ pi }} {{e} ^ {- \ tfrac {1} {2} {{\ left (\ tfrac {{{t} ^ {\ prime}} – {{\ mu} ^ {\ prime}}} {{ {\ sigma} ^ {\ prime}}} \ højre)} ^ {2}}}} \, \!

Pålidelighedsfunktion

F (t) = \ int_ {0} ^ {t} f (s) ds \ \, \!

Eller man kan sidestille denne begivenhed med sandsynligheden for, at en enhed svigter med tiden t \, \ !.

Da denne funktion definerer sandsynligheden for svigt på et bestemt tidspunkt, kunne vi overveje dette som upålidelighed funktion. At trække denne sandsynlighed fra 1 vil give os pålidelighedsfunktionen, en af de vigtigste funktioner i livsdataanalyse. Pålidelighedsfunktionen giver sandsynligheden for succes for en enhed, der foretager en mission af en given varighed. Følgende figur illustrerer dette.

Q (t) = F (t) = \ int_ {0} ^ {t} f (s) ds \, \!

Pålidelighed og upålidelighed er de eneste to begivenheder, der overvejes, og de er gensidigt eksklusive; derfor er summen af disse sandsynligheder lig med enhed.

Derefter:

\ begin {align} Q (t) + R (t) = & 1 \\ R (t) = & 1-Q (t) \\ R (t) = & 1- \ int_ {0} ^ {t} f (s) ds \\ R (t) = & \ int_ {t} ^ {\ infty} f (s) ds \ end {align} \, \!

Omvendt:

f (t) = – \ frac {d (R (t))} {dt} \, \!

Betinget pålidelighedsfunktion

Betinget pålidelighed er sandsynligheden for at gennemføre en anden mission efter en vellykket afslutning af en tidligere mission. Tidspunktet for den tidligere mission og tiden for missionen skal tages i betragtning ved beregninger af betinget pålidelighed. Den betingede pålidelighedsfunktion er givet af:

R (t | T) = \ frac {R (T + t)} {R (T)} \ \, \!

Funktionsfejlfrekvens

Fejlfrekvensfunktionen muliggør bestemmelse af antallet af fejl, der opstår pr. tidsenhed. Ved udeladelse af afledningen gives fejlfrekvensen matematisk som:

\ lambda (t) = \ frac {f (t)} {R (t)} \ \, \!

Dette giver den øjeblikkelige fejlrate, også kendt som fare-funktionen. Det er nyttigt at karakterisere en komponents funktionsmåde, bestemme tildeling af vedligeholdelsesbesætning, planlægning af reservedelstilførsel osv. Fejlfrekvens betegnes som fejl pr. Tidsenhed.

Gennemsnitlig levetid (MTTF)

Den gennemsnitlige livsfunktion, som giver et mål for den gennemsnitlige driftstid til fiasko, gives af:

\ overline {T} = m = \ int_ {0} ^ {\ infty} t \ cdot f (t) dt \, \!

Dette er den forventede eller gennemsnitlige tid til fiasko og betegnes som MTTF (middel tid til fiasko).

MTTF giver, selvom det er et indeks for pålidelighedsydelse, ingen oplysninger om fejlfordelingen af den pågældende komponent, når der behandles de fleste levetidsfordelinger. Fordi meget forskellige distributioner kan have identiske midler, er det uklogt at bruge MTTF som det eneste mål for pålideligheden af en komponent.

Median Life

\ int _ {- \ infty} ^ {{ \ breve {T}}} f (t) dt = 0,5 \ \, \!

Modal levetid (eller tilstand)

Modal levetid (eller tilstand), \ tilde {T} \, \ !, er værdien af T \, \! der tilfredsstiller:

\ frac {d \ left} {dt} = 0 \ \, \!

For en kontinuerlig distribution er tilstanden den værdi af t \, \! der svarer til den maksimale sandsynlighedstæthed (den værdi, som pdf har sin maksimale værdi eller kurvetoppen).

Livstidsfordeling

En statistisk fordeling er fuldt ud beskrevet af dens pdf. I de foregående afsnit brugte vi definitionen af pdf til at vise, hvordan alle andre funktioner, der oftest anvendes i pålidelighedsteknik og analyse af livsdata, kan udledes. Pålidelighedsfunktionen, fejlfrekvensfunktion, gennemsnitstid og medianfunktion kan bestemmes direkte fra pdf-definitionen eller f (t) \, \ !. Der findes forskellige fordelinger, såsom normal (Gaussisk), eksponentiel, Weibull osv., Og hver har en foruddefineret form for f (t) \, \! der kan findes i mange referencer. Faktisk er der visse referencer, der udelukkende er afsat til forskellige typer statistiske distributioner. Disse fordelinger blev formuleret af statistikere, matematikere og ingeniører til matematisk at modellere eller repræsentere en bestemt opførsel. For eksempel blev Weibull-distributionen formuleret af Waloddi Weibull og bærer således hans navn. Nogle distributioner har en tendens til bedre at repræsentere livsdata og kaldes oftest “levetidsfordelinger”.

En mere detaljeret introduktion til dette emne præsenteres i livsfordelinger.

Skriv et svar

Din e-mailadresse vil ikke blive publiceret. Krævede felter er markeret med *