Základní statistické pozadí

Kapitola 2: Základní statistické pozadí


Rejstřík

Kapitola 2

Základní statistické pozadí

Dostupný software:
Weibull ++

Další zdroje:
Sbírka příkladů Weibull ++

Stáhnout příručku:
Analýza dat o životě (* .pdf)

Vytvořit referenční knihu:
Soubor může být aktuální

Tato část poskytuje krátký základní úvod k nejběžnějším a základním statistickým rovnicím a definicím používaným v inženýrství spolehlivosti a analýze životních dat.

Náhodné proměnné

Obecně se většina problémů v inženýrství spolehlivosti zabývá kvantitativními opatřeními, jako je doba do selhání komponenty, nebo kvalitativními opatřeními, jako je to, zda je součást vadný nebo nezávadný. Potom můžeme použít náhodnou proměnnou X \, \! k označení těchto možných opatření.

Při posuzování vadné nebo nezávadné součásti jsou možné pouze dva výsledky. To znamená, X \, \! je náhodná proměnná, která může nabývat pouze jedné ze dvou hodnot (řekněme defective = 0 a non-defective = 1). V tomto případě se říká, že proměnná je diskrétní náhodná proměnná.

Funkce hustoty pravděpodobnosti a funkce kumulativního rozdělení

Funkce hustoty pravděpodobnosti (pdf) a funkce kumulativního rozdělení (cdf) jsou dvě z nejdůležitějších statistických funkcí spolehlivosti a velmi úzce spolu souvisejí. jsou známa, lze odvodit nebo získat téměř jakékoli jiné důležité měřítko spolehlivosti. Nyní se podrobněji podíváme na tyto funkce a na to, jak souvisí s jinými měřítky spolehlivosti, jako je funkce spolehlivosti a míra selhání.

Z pravděpodobnosti a statistik, vzhledem ke spojité náhodné proměnné X, \, \! Označíme:

  • Funkce hustoty pravděpodobnosti, pdf, jako f (x) \, \ !.
  • Funkce kumulativní distribuce, cdf, jako F (x) \, \ !.

Soubory pdf a cdf poskytují úplný popis rozdělení pravděpodobnosti náhodné proměnné. Následující obrázek ilustruje soubor PDF.

Následující obrázky ilustrují vztah pdf – cdf.

P (a \ le X \ le b) = \ int_ {a} ^ {b} f (x) dx \ \, \!

CDF je funkce, F (x) \, \!, náhodné proměnné X \, \ !, a je definována pro číslo x \, \! autor:

F (x) = P (X \ le x) = \ int_ {0} ^ {x} f (s) ds \ \, \!

Matematický vztah: pdf a cdf

Matematický vztah mezi pdf a cdf je dán vztahem:

F (x) = \ int_ {0} ^ {x} f (s) ds \, \!

kde s \, \! je fiktivní integrační proměnná.

Naopak:

f (x) = \ frac {d (F (x))} {dx} \, \!

CDF je oblast pod funkcí hustoty pravděpodobnosti až do hodnoty x \, \ !. Celková plocha pod souborem PDF se vždy rovná 1, nebo matematicky:

\ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} f (x) dx = 1 \, \!

Známé normální (nebo Gaussovo) rozdělení je příkladem funkce hustoty pravděpodobnosti. Soubor PDF pro tuto distribuci je dán vztahem:

f (t) = \ frac {1} {\ sigma \ sqrt {2 \ pi}} {{e} ^ {- \ tfrac {1} {2} { {\ left (\ tfrac {t- \ mu} {\ sigma} \ right)} ^ {2}}}} \, \!

Další je lognormální distribuce, jejíž pdf je dáno vztahem:

f (t) = \ frac {1} {t \ cdot {{\ sigma} ^ {\ prime}} \ sqrt {2 \ pi }} {{e} ^ {- \ tfrac {1} {2} {{\ left (\ tfrac {{{t} ^ {\ prime}} – {{\ mu} ^ {\ prime}}} {{ {\ sigma} ^ {\ prime}}} \ right)} ^ {2}}}} \, \!

Funkce spolehlivosti

F (t) = \ int_ {0} ^ {t} f (s) ds \ \, \!

Nebo by bylo možné tuto událost přirovnat k pravděpodobnosti selhání jednotky v čase t \, \ !.

Protože tato funkce definuje pravděpodobnost selhání do určité doby, mohli bychom ji považovat za funkce nespolehlivosti. Odečtením této pravděpodobnosti od 1 získáme funkci spolehlivosti, jednu z nejdůležitějších funkcí v analýze životních dat. Funkce spolehlivosti dává pravděpodobnost úspěchu jednotky vykonávající misi daného časového období. Následující obrázek to ilustruje.

Q (t) = F (t) = \ int_ {0} ^ {t} f (s) ds \, \!

Spolehlivost a nespolehlivost jsou jediné dvě uvažované události a vzájemně se vylučují; součet těchto pravděpodobností se tedy rovná jednotě.

Potom:

\ begin {align} Q (t) + R (t) = & 1 \\ R (t) = & 1-Q (t) \\ R (t) = & 1- \ int_ {0} ^ {t} f (s) ds \\ R (t) = & \ int_ {t} ^ {\ infty} f (s) ds \ end {align} \, \!

Naopak:

f (t) = – \ frac {d (R (t))} {dt} \, \!

Funkce podmíněné spolehlivosti

Podmíněná spolehlivost je pravděpodobnost úspěšného dokončení další mise po úspěšném dokončení předchozí mise. Při výpočtech podmíněné spolehlivosti je třeba vzít v úvahu čas předchozí mise a čas mise, která má být provedena. Funkce podmíněné spolehlivosti je dána vztahem:

R (t | T) = \ frac {R (T + t)} {R (T)} \ \, \!

Funkce četnosti poruch

Funkce četnosti poruch umožňuje určit počet poruch vyskytujících se za jednotku času. Vynecháním derivace je míra selhání matematicky dána jako:

\ lambda (t) = \ frac {f (t)} {R (t)} \ \, \!

Tím získáte okamžitou poruchovost, známou také jako funkce nebezpečí. Je to užitečné při charakterizaci poruchového chování komponenty, určování alokace údržbářské skupiny, plánování zajišťování náhradních dílů atd. Míra selhání se označuje jako selhání za jednotku času.

Mean Life (MTTF)

Funkce střední životnosti, která poskytuje měřítko průměrné doby provozu do selhání, je dána vztahem:

\ overline {T} = m = \ int_ {0} ^ {\ infty} t \ cdot f (t) dt \, \!

Toto je očekávaná nebo průměrná doba do selhání a označuje se jako MTTF (střední doba do selhání).

MTTF, i když je index spolehlivosti, neposkytuje žádné informace o distribuci selhání dané komponenty při řešení většiny celoživotních distribucí. Protože nesmírně odlišné distribuce mohou mít stejné prostředky, není rozumné používat MTTF jako jediný ukazatel spolehlivosti komponenty.

Median Life

\ int _ {- \ infty} ^ {{ \ breve {T}}} f (t) dt = 0,5 \ \, \!

Modální život (nebo režim)

Modální život (nebo režim), \ tilde {T} \, \ !, je hodnota T \, \! které splňuje:

\ frac {d \ left} {dt} = 0 \ \, \!

U spojité distribuce je režimem hodnota t \, \! který odpovídá maximální hustotě pravděpodobnosti (hodnota, při které má pdf svou maximální hodnotu, nebo vrchol křivky).

Distribuce životnosti

Statistické rozdělení je plně popsáno jeho pdf. V předchozích částech jsme použili definici souboru PDF, abychom ukázali, jak lze odvodit všechny ostatní funkce, které se nejčastěji používají v inženýrství spolehlivosti a analýze životních dat. Funkce spolehlivosti, funkce poruchovosti, funkce průměrného času a funkce mediánu života lze určit přímo z definice pdf, nebo f (t) \, \ !. Existují různá rozdělení, jako normální (Gaussian), exponenciální, Weibull atd., A každé má předdefinovanou formu f (t) \, \! které lze najít v mnoha referencích. Ve skutečnosti existují určité odkazy, které se věnují výhradně různým typům statistických distribucí. Tato rozdělení rozdělili statistici, matematici a inženýři, aby matematicky modelovali nebo představovali určité chování. Například Weibullovu distribuci formuloval Waloddi Weibull, a proto nese jeho jméno. Některé distribuce mají tendenci lépe reprezentovat životní data a nejčastěji se jim říká „celoživotní distribuce“.

Podrobnější úvod k tomuto tématu je uveden v Life Distribuce.

Napsat komentář

Vaše e-mailová adresa nebude zveřejněna. Vyžadované informace jsou označeny *