6.3: Objemy revoluce: Shellova metoda

Často lze daný problém vyřešit více než jedním způsobem. Konkrétní metodu lze zvolit z pohodlí, osobních preferencí nebo snad z nutnosti. Nakonec je dobré mít možnosti.

Předchozí část představila metody Disk a Washer, které vypočítávaly objem rotačních těles integrací průřezové plochy tělesa. Tato část vyvíjí další metodu výpočtu objemu, Shell metodu. Namísto krájení tělesa kolmého na osu otáčení a vytváření průřezů jej nyní rozdělíme rovnoběžně s osou otáčení a vytvoříme „skořápky“.

Zvažte obrázek \ (\ PageIndex {1} \) , kde oblast zobrazená v bodě (a) se otáčí kolem osy \ (y \) a tvoří těleso zobrazené v bodě (b). Malý řez oblasti je nakreslen v (a) rovnoběžně s osou otáčení. Když se oblast otáčí, tvoří tento tenký plátek válcovitý plášť, jak je znázorněno v části (c) obrázku. Předchozí část se přibližovala tělesu se spoustou tenkých disků (nebo podložek); nyní aproximujeme těleso s mnoha tenkými válcovými skořápkami.

Obrázek \ (\ PageIndex {1} \): Představujeme metodu Shell.

Obrázek \ (\ PageIndex { 1} \) (d): Dynamická verze tohoto obrázku vytvořená pomocí CalcPlot3D.

Rozdělením tělesa na \ (n \) válcové skořápky můžeme aproximovat objem tělesa jako

$$ V = \ sum_ {i = 1} ^ n 2 \ pi r_ih_i \ dx_i, $$

kde \ (r_i \), \ (h_i \) a \ (dx_i \) jsou poloměr, výška a tloušťka skořepiny \ (i \, ^ \ text {th} \).

Toto je Riemannova suma. Pokud vezmeme limit, když se tloušťka skořápek blíží 0, vede k určitému integrálu.

Obrázek \ (\ PageIndex {2 } \): Určení objemu tenkého válcového pláště.} \ Label {obr: soupcan}

Zvláštní případy:

  1. Když je oblast \ (R \) ohraničeno nahoře \ (y = f (x) \) a níže \ (y = g (x) \), pak \ (h (x) = f (x) -g (x) \).
  2. Když je osou otáčení osa \ (y \) (tj. \ (x = 0 \)), pak \ (r (x) = x \).

Pojďme si procvičit použití Shell metody.

U Shell metody není třeba počítat s ničím zvláštním pro výpočet objemu tělesa, které má uprostřed otvor, jak je ukázáno dále.

Při otáčení oblasti kolem vodorovné osy musíme vzít v úvahu funkce poloměru a výšky z hlediska \ (y \), nikoli \ (x \).

Na začátku v této části bylo uvedeno, že „je dobré mít možnosti.“ Následující příklad najde objem tělesa poměrně snadno pomocí metody Shell, ale s použitím metody Washer Meth od by byla docela fuška.

Tuto část zakončíme tabulkou shrnující použití metod Washer a Shell.

Stejně jako v předchozí části je skutečným cílem této části není schopen vypočítat objemy určitých pevných látek. Spíše to má být schopnost vyřešit problém nejprve aproximací, poté pomocí limitů zpřesnit aproximaci, aby poskytla přesnou hodnotu. V této části přibližujeme objem tělesa rozřezáním na tenké válcové skořápky. Sečtením objemů každé skořápky získáme přibližnou hodnotu objemu. Tím, že vezmeme limit, protože počet rovnoměrně rozmístěných skořápek jde do nekonečna, lze náš součet vyhodnotit jako určitý integrál, který dává přesnou hodnotu.

Stejný princip znovu použijeme v další části, kde najděte délku křivek v rovině.

Napsat komentář

Vaše e-mailová adresa nebude zveřejněna. Vyžadované informace jsou označeny *