Background statistico di base

Capitolo 2: Background statistico di base


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Capitolo 2

Background statistico di base

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Questa sezione fornisce una breve introduzione elementare alle equazioni e definizioni statistiche più comuni e fondamentali utilizzate nell’ingegneria dell’affidabilità e nell’analisi dei dati di vita.

Variabili casuali

In generale, la maggior parte dei problemi nell’ingegneria dell’affidabilità riguardano misure quantitative, come il tempo fino al guasto di un componente, o misure qualitative, come se un componente sia difettoso o non difettoso. Possiamo quindi usare una variabile casuale X \, \! per denotare queste possibili misure.

Nel giudicare un componente difettoso o non difettoso, sono possibili solo due risultati. Cioè, X \, \! è una variabile casuale che può assumere uno dei due soli valori (diciamo difettoso = 0 e non difettoso = 1). In questo caso, si dice che la variabile sia una variabile casuale discreta.

La funzione di densità di probabilità e la funzione di distribuzione cumulativa

La funzione di densità di probabilità (pdf) e la funzione di distribuzione cumulativa (cdf) sono due delle funzioni statistiche più importanti nell’affidabilità e sono strettamente correlate. Quando queste funzioni sono noti, è possibile derivare o ottenere quasi qualsiasi altra misura di affidabilità di interesse. Ora esamineremo più da vicino queste funzioni e il modo in cui si relazionano ad altre misure di affidabilità, come la funzione di affidabilità e il tasso di guasto.

Da probabilità e statistica, data una variabile casuale continua X, \, \! Denotiamo:

  • La funzione di densità di probabilità, pdf, come f (x) \, \ !.
  • La funzione di distribuzione cumulativa, cdf, come F (x) \, \ !.

Il pdf e il cdf danno una descrizione completa di la distribuzione di probabilità di una variabile casuale. La figura seguente illustra un pdf.

Le figure successive illustrano la relazione pdf – cdf.

P (a \ le X \ le b) = \ int_ {a} ^ {b} f (x) dx \ \, \!

Il cdf è una funzione, F (x) \, \ !, di una variabile casuale X \, \ !, ed è definita per un numero x \, \! di:

F (x) = P (X \ le x) = \ int_ {0} ^ {x} f (s) ds \ \, \!

Relazione matematica: pdf e cdf

La relazione matematica tra pdf e cdf è data da:

F (x) = \ int_ {0} ^ {x} f (s) ds \, \!

dove s \, \! è una variabile di integrazione fittizia.

Al contrario:

f (x) = \ frac {d (F (x))} {dx} \, \!

Il cdf è l’area sotto la funzione di densità di probabilità fino a un valore di x \, \ !. L’area totale sotto il pdf è sempre uguale a 1, o matematicamente:

\ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} f (x) dx = 1 \, \!

La ben nota distribuzione normale (o gaussiana) è un esempio di una funzione di densità di probabilità. Il pdf per questa distribuzione è dato da:

f (t) = \ frac {1} {\ sigma \ sqrt {2 \ pi}} {{e} ^ {- \ tfrac {1} {2} { {\ left (\ tfrac {t- \ mu} {\ sigma} \ right)} ^ {2}}}} \, \!

Un’altra è la distribuzione lognormal, il cui pdf è dato da:

f (t) = \ frac {1} {t \ cdot {{\ sigma} ^ {\ prime}} \ sqrt {2 \ pi }} {{e} ^ {- \ tfrac {1} {2} {{\ left (\ tfrac {{{t} ^ {\ prime}} – {{\ mu} ^ {\ prime}}} {{ {\ sigma} ^ {\ prime}}} \ right)} ^ {2}}}} \, \!

Funzione di affidabilità

F (t) = \ int_ {0} ^ {t} f (s) ds \ \, \!

Oppure si potrebbe equiparare questo evento alla probabilità che un’unità fallisca entro il tempo t \, \ !.

Poiché questa funzione definisce la probabilità di guasto entro un certo tempo, potremmo considerare funzione di inaffidabilità. Sottraendo questa probabilità da 1 si otterrà la funzione di affidabilità, una delle funzioni più importanti nell’analisi dei dati di vita. La funzione di affidabilità fornisce la probabilità di successo di un’unità che intraprende una missione di una data durata. La figura seguente lo illustra.

Q (t) = F (t) = \ int_ {0} ^ {t} f (s) ds \, \!

Affidabilità e inaffidabilità sono gli unici due eventi presi in considerazione e si escludono a vicenda; quindi, la somma di queste probabilità è uguale all’unità.

Quindi:

\ begin {align} Q (t) + R (t) = & 1 \\ R (t) = & 1-Q (t) \\ R (t) = & 1- \ int_ {0} ^ {t} f (s) ds \\ R (t) = & \ int_ {t} ^ {\ infty} f (s) ds \ end {align} \, \!

Al contrario:

f (t) = – \ frac {d (R (t))} {dt} \, \!

Funzione di affidabilità condizionale

L’affidabilità condizionale è la probabilità di completare con successo un’altra missione dopo il completamento con successo di una missione precedente. Il tempo della missione precedente e il tempo per la missione da intraprendere devono essere presi in considerazione per i calcoli di affidabilità condizionale. La funzione di affidabilità condizionale è data da:

R (t | T) = \ frac {R (T + t)} {R (T)} \ \, \!

Funzione tasso di guasto

La funzione tasso di guasto consente la determinazione del numero di guasti che si verificano per unità di tempo. Omettendo la derivazione, il tasso di fallimento è dato matematicamente come:

\ lambda (t) = \ frac {f (t)} {R (t)} \ \, \!

Fornisce il tasso di guasto istantaneo, noto anche come funzione di rischio. È utile per caratterizzare il comportamento in caso di guasto di un componente, determinare l’allocazione del personale di manutenzione, pianificare la fornitura di parti di ricambio, ecc.

La funzione di durata media, che fornisce una misura del tempo medio di funzionamento fino al fallimento, è data da:

\ overline {T} = m = \ int_ {0} ^ {\ infty} t \ cdot f (t) dt \, \!

Questo è il tempo di guasto previsto o medio ed è indicato come MTTF (Mean Time To Failure).

L’MTTF, anche se un indice di prestazioni di affidabilità, non fornisce alcuna informazione sulla distribuzione dei guasti del componente in questione quando si tratta della maggior parte delle distribuzioni di durata. Poiché distribuzioni molto diverse possono avere mezzi identici, non è saggio utilizzare l’MTTF come unica misura dell’affidabilità di un componente.

Vita mediana

\ int _ {- \ infty} ^ {{ \ breve {T}}} f (t) dt = 0,5 \ \, \!

Vita modale (o modalità)

La vita modale (o modalità), \ tilde {T} \, \ !, è il valore di T \, \! che soddisfa:

\ frac {d \ left} {dt} = 0 \ \, \!

Per una distribuzione continua, la modalità è quel valore di t \, \! che corrisponde alla massima densità di probabilità (il valore al quale il pdf ha il suo valore massimo, o il picco della curva).

Distribuzioni nel corso della vita

Una distribuzione statistica è completamente descritta da il suo pdf. Nelle sezioni precedenti abbiamo utilizzato la definizione del pdf per mostrare come possono essere derivate tutte le altre funzioni più comunemente utilizzate nell’ingegneria dell’affidabilità e nell’analisi dei dati di vita. La funzione di affidabilità, la funzione del tasso di guasto, la funzione del tempo medio e la funzione della vita mediana possono essere determinate direttamente dalla definizione pdf, of (t) \, \ !. Esistono diverse distribuzioni, come la normale (gaussiana), esponenziale, Weibull, ecc., E ciascuna ha una forma predefinita di f (t) \, \! che può essere trovato in molti riferimenti. In effetti, ci sono alcuni riferimenti che sono dedicati esclusivamente a diversi tipi di distribuzioni statistiche. Queste distribuzioni sono state formulate da statistici, matematici e ingegneri per modellare matematicamente o rappresentare determinati comportamenti. Ad esempio, la distribuzione Weibull è stata formulata da Waloddi Weibull e quindi porta il suo nome. Alcune distribuzioni tendono a rappresentare meglio i dati della vita e sono più comunemente chiamate “distribuzioni della vita”.

Un’introduzione più dettagliata a questo argomento è presentata in Distribuzioni della vita.

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