6.3: Volumi di rivoluzione: il metodo Shell

Spesso un dato problema può essere risolto in più di un modo. Un metodo particolare può essere scelto per comodità, preferenza personale o forse necessità. In definitiva, è bene avere delle opzioni.

La sezione precedente ha introdotto i metodi Disk e Washer, che calcolavano il volume dei solidi di rivoluzione integrando l’area della sezione trasversale del solido. Questa sezione sviluppa un altro metodo di calcolo del volume, il metodo Shell. Invece di tagliare il solido perpendicolare all’asse di rotazione creando sezioni trasversali, ora lo tagliamo parallelamente all’asse di rotazione, creando “gusci”.

Considera la figura \ (\ PageIndex {1} \) , dove la regione mostrata in (a) viene ruotata attorno all’asse \ (y \) che forma il solido mostrato in (b). Una piccola fetta della regione è disegnata in (a), parallela all’asse di rotazione. Quando la regione viene ruotata, questa fetta sottile forma un guscio cilindrico, come illustrato nella parte (c) della figura. La sezione precedente approssimava un solido con molti dischi sottili (o rondelle); ora approssimiamo un solido con molti gusci cilindrici sottili.

Figura \ (\ PageIndex {1} \): Presentazione del metodo Shell.

Figura \ (\ PageIndex { 1} \) (d): una versione dinamica di questa figura creata usando CalcPlot3D.

Rompendo il solido in \ (n \) gusci cilindrici, possiamo approssimare il volume del solido come

$$ V = \ sum_ {i = 1} ^ n 2 \ pi r_ih_i \ dx_i, $$

dove \ (r_i \), \ (h_i \) e \ (dx_i \) sono il raggio, l’altezza e lo spessore della shell \ (i \, ^ \ text {th} \), rispettivamente.

Questo è un Somma di Riemann. Prendendo un limite quando lo spessore dei gusci si avvicina a 0, si ottiene un integrale definito.

Figura \ (\ PageIndex {2 } \): Determinazione del volume di un sottile guscio cilindrico.} \ Label {fig: soupcan}

Casi speciali:

  1. Quando la regione \ (R \) è delimitato sopra da \ (y = f (x) \) e sotto da \ (y = g (x) \), quindi \ (h (x) = f (x) -g (x) \).
  2. Quando l’asse di rotazione è l’asse \ (y \) (cioè \ (x = 0 \)), allora \ (r (x) = x \).

Facciamo pratica con il metodo Shell.

Con il metodo Shell, non è necessario tenere conto di nulla di speciale per calcolare il volume di un solido che ha un buco nel mezzo, come mostrato di seguito.

Quando si ruota una regione attorno a un asse orizzontale, dobbiamo considerare le funzioni raggio e altezza in termini di \ (y \), non \ (x \).

All’inizio di in questa sezione è stato affermato che “è bene avere opzioni”. Il prossimo esempio trova il volume di un solido piuttosto facilmente con il metodo Shell, ma utilizzando il metodo Washer sarebbe piuttosto un lavoro ingrato.

Concludiamo questa sezione con una tabella che riassume l’uso dei metodi Washer e Shell.

Come nella sezione precedente, il vero obiettivo di questa sezione non è quello di essere in grado di calcolare i volumi di determinati solidi. Piuttosto, è essere in grado di risolvere un problema prima approssimando, quindi usando i limiti per raffinare l’approssimazione per dare il valore esatto. In questa sezione, approssimiamo il volume di un solido tagliandolo in sottili gusci cilindrici. Riassumendo i volumi di ogni shell, otteniamo un’approssimazione del volume. Prendendo un limite poiché il numero di shell equidistanti va all’infinito, la nostra somma può essere valutata come un integrale definito, dando il valore esatto.

Usiamo di nuovo lo stesso principio nella sezione successiva, dove abbiamo trova la lunghezza delle curve nel piano.

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